Проверка правила сложения дисперсий и оценка степени влияния факторного признака на величину результативного.

Правило сложения дисперсий заключается в равенстве общей дисперсии сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий, т.е.:

, (42)

где общая дисперсия; (43)

внутригрупповые дисперсии; (44)

средняя из внутригрупповых дисперсий; (45)

межгрупповая дисперсия; (46)

внутригрупповые средние; (47)

общая средняя. (48)

Значение общей средней приведено в ячейке D65, а в ячейках D66 и D67 – среднее квадратическое отклонение и дисперсия зависимой переменной. Групповые средние приведены в ячейках АУ3:АУ7. Внутригрупповые дисперсии вычисляются с использованием функции ДИСПР, например, в ячейке АК3 записана формула = ДИСПР (С10:С15). Средняя из внутригрупповых дисперсий отображена в ячейке D68, в которой записана формула:

= СУММПРОИЗВ (АК3:АК7;Х3:Х7).

Для вычисления межгрупповой дисперсии в ячейку D69 записана формула = СУММПРОИЗВ (СТЕПЕНЬ(AJ3:АJ7-$D$65;2);X3:X7).

Как следует из данных табл. 2 правило сложения дисперсий выполняется, т.к. 11,25=1,62+9,63.

Для того, чтобы выяснить влияет ли контролируемый фактор на результативный признак, а при наличии такого влияния оценить его степень можно применить однофакторный дисперсионный анализ. Его логика рассуждений сводится к следующему:

Пусть - математическое ожидание результативного признака, соответственно в группах . Если при изменении уровня фактора групповые математические ожидания не изменяются, то результативный признак не зависит от фактора А, в противном случае такая зависимость имеется.

В связи с тем, что числовые значения математических ожиданий неизвестны, то возникает задача проверки гипотезы

Проверить данную гипотезу можно при соблюдении следующих требований при каждом значении уровня фактора:

1) наблюдения независимы и проводятся в одинаковых условиях;

2) результативный признак имеет нормальный закон распределения с постоянной для различных уровней генеральной дисперсией.

Для ответа на второй вопрос вычислим значения относительных показателей асимметрии и эксцесса (ячейки В71, В72). Учитывая, что каждый из них меньше 1,5 эмпирическое распределение прибыли банков не противоречит нормальному. Проверим выполнение гипотезы:

(49)

с помощью критерия Бартлетта:

(50)

где ; (51)

l=n-m; ; (52)

; (53)

; (54)

k=m-1; (55)

- дисперсия в j-ой группе.

При выполнении гипотезы о равенстве дисперсий, величина w имеет распределение близкое к с к=m- степенями свободы.

При соблюдении условия

гипотеза (49) подтверждается. (56)

Здесь - правосторонняя критическая точка при заданном уровне значимости , определяющая критический интервал ().

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий основывается на сравнении оценок и . В математической статистике доказывается, что если гипотеза о равенстве математических ожиданий подтверждается, то величина

(57)

имеет F – распределения с числом свободы k=m-1 и =n-m, т.е.

При использовании F – критерия строится правосторонняя область (), т.к. обычно . Если расчетное значение F – критерия попадает в указанный интервал, то гипотеза о равенстве групповых математических ожиданий отвергается, т.е. считаем, что фактор А влияет на результативный признак Y и можно измерить степень этого влияния с помощью выборочного коэффициента детерминации.

Рассчитаем значение перечисленных показателей. В ячейке D72 записана формула = n-m, т.е. вычисляется значение ;

Ячейка D73 содержит формулу =СУММПРОИЗВ(СТЕПЕНЬ(W3:W7-1;(-1))) – вычисляется значение ;

Ячейка D74: =1/D72 – вычисляется значение ;

Ячейка D75: =СУММПРОИЗВ(W3:W7-1;AK3:AK7)*D74 – вычисляется значение ;

Ячейка D76: =1+(D73-D74)/(3*4) – вычисляется значение q;

Ячейка D77: =СУММПРОИЗВ(W3:W7-1;LN($D$75/AK3:AK7))/D76 – вычисляется значение критерия Бартлетта;

Ячейка D78: =ХИ20БР(0,05;4) – определяется значение правосторонней критической точки .

В связи с тем, что =3,18 не попадает в критическую область (9,49; ), то гипотеза принимается и можно приступить к проверке гипотезы . Для этого сформируем массив значений результативного признака по группам (табл. 8).

Обратимся к режиму работы «Однофакторный дисперсионный анализ». Значения параметров, установленные в одноименном диалоговом окне, показаны на рис. 15.

 

Рисунок 15

Показатели, рассчитанные в ходе проверки гипотезы приведены в табл. 9 и 10.

Как видно из табл. 10 расчетное значение F – критерия , а критическая область образуется правосторонним интервалом (2,59: ). Так как попадает в критическую область, то гипотеза о равенстве групповых математических ожиданий отвергается, т.е. считаем, что прибыль банков зависит от их группы.

Рассмотрим более подробно алгоритм расчета основных показателей, представленных в табл. 10.

В ячейке AW15 (показатель SS между группами) рассчитывается взвешенная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей выборочной средней:

.

В ячейке AW16 (показатель SS внутри групп) вычисляется остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений уровня от своей выборочной средней:

.

В ячейке AW18 (показатель SS итого) общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней: или

В ячейках АХ15, АХ16 и АХ17 (показатель df) определяются степени свободы:

;

;

.

В ячейках AY15:AY16 (показатель MS) вычисляются несмещенные оценки и

В ячейке AZ15 (показатель F) вычисляется расчетное значение критерия :

.

В ячейке ВА15 (показатель Р – значение) определяется Р – значение, соответствующее расчетному значению критерия , с помощью формулы

=FРАСП(AZ15;AX15;AX16)

В ячейке ВВ15 (показатель F критическое) рассчитывается значение правосторонней критической точки с помощью формулы:

=FРАСПОБР(0,05;АХ15;АХ16).

Разделив левую и правую части выражения (42) на общую дисперсию получим следующее равенство:

. (58)

Т.е. доли средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий в сумме равны единице. Второе слагаемое именуется эмпирическим коэффициентом детерминации

. (59)

Он характеризует долю объясненной дисперсии в общей. Следовательно 86% (ячейка D70) вариации прибыли банков объясняются величиной их активов. Для оценки тесноты зависимости используется эмпирическое корреляционное отношение

. (60)

Учитывая, что (ячейка D71) теснота зависимости (по шкале Чеддока) весьма высокая.

При недостаточном количестве данных в выделенных группах к рассчитанной величине корреляционного отношения водится поправка на группировку:

, (61)

откуда (ячейки D81 и D82).

Таким образом можно сделать вывод, что эмпирический коэффициент детерминации является значимым и его можно применять для оценки влияния суммы активов банков на величину их прибыли.

 

Оценка степени взаимной согласованности между суммой активов банков и величиной их прибыли с помощью линейного коэффициента корреляции. Проверка его значимости и возможности использования линейной функции в качестве формы уравнения.

Линейный коэффициент корреляции в EXCEL можно вычислить используя режим «Корреляция» только для несгруппированных данных. Поэтому в ячейке D83 записана формула =(СУММПРОИЗВ(V3:V7:AY3:FY7;X3:X7)-B84*D65)/(B89*D66) или в принятых обозначениях . (61)

Значение коэффициента детерминации () приведено в ячейке D84. Для сравнения в ячейке D86 и D87 приведены значения перечисленных показателей для несгруппированных данных, вычисленные с использованием функции ПИРСОН (В10: В57; С10:С57), диалоговое окно которого приведено на рис. 16.

 

Рисунок 16

Из приведенных результатов следует, что степень взаимной согласованности между суммой активов банков и величиной их прибыли весьма высокая.

В связи с тем, что линейный коэффициент корреляции определен по выборочным данным, то его значение может существенно отличаться от аналогичного показателя в генеральной совокупности. Поэтому необходимо определить значимость выборочного линейного коэффициента корреляции. При наличии значимости определяются границы доверительного интервала линейного коэффициента корреляции и его можно использовать для оценки степени тесноты связи.

Оценку значимости линейного коэффициента корреляции выполним на основе t – критерия Стьюдента

, (62)

где - стандартная ошибка линейного коэффициента корреляции (ячейка D96) (63)

При этом проверяется гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции (:r=0). Если гипотеза подтверждается, то t – статистика имеет распределение Стьюдента с выходными параметрами и k ( - уровень значимости; k=n-2 – число степеней свободы).

Так как рассчитанное значение , гипотеза :r=0 отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической существенности зависимости между суммой активов банков и величиной их прибыли.

При недостаточном объеме выборки для построения доверительного интервала коэффициент корреляции преобразуют в величину , имеющую приблизительно нормальное распределение и рассчитываемую по формуле

(64)

Данное выражение имеет название «z – преобразование Фишера».

Интервальная оценка для z определяется из выражения

(65)

где - табулированые значения для стандартного нормального распределения, зависимые от . На основе обратного преобразования Фишера определяется интервальная оценка линейного коэффициента корреляции.

Приведем реализацию изложенного алгоритма.

· ячейке D91 содержится формула =ФИШЕР(D83) – вычисляется значение ;

· в ячейках D92 и D93 содержатся формулы

=D91-НОРМСТОБР((0,95+1)/2)*КОРЕНЬ(1/45) и

=D91+ НОРМСТОБР((0,95+1)/2)*КОРЕНЬ(1/45) – рассчитываются интервальные оценки z;

· ячейки D94 и D95 содержатся формулы =ФИШЕРОБР(D92) и ФИШЕРОБР(D93).

Таким образом, с вероятностью 0,95 линейный коэффициент корреляции заключен в интервале от 0,87 до 0,96 со стандартной ошибкой 0,06.

Проверка возможности использования линейной функции в качестве формы уравнения заключается в определении разности квадратов , если она меньше 0,1, то считается возможным использовать линейное уравнение корреляционной зависимости. В данном случае эта разность составляет 0,004 (ячейка D85).