Определение доверительного интервала для средней величины активов банков в генеральной совокупности

Величина доверительного интервала (предельная ошибка выборки) находится из выражения

, (37)

где t – коэффициент доверия;

- средняя ошибка выборки.

Средняя ошибка бесповторной выборки:

, (38)

где - дисперсия генеральной совокупности;

- объем выборочной совокупности;

N – объем генеральной совокупности.

Дисперсия генеральной совокупности связана с выборочной дисперсией следующим отношением:

, (39)

Следовательно, среднюю ошибку выборки можно представить выражением:

(40)

В такой записи формулы средней ошибки для «большой» и «малой» выборок совпадают.

Коэффициент доверия в распределении Гаусса является только функцией доверительной вероятности, а в распределении Стьюдента, кроме того, еще и функцией объема выборки. Следовательно, для одной и той же доверительной вероятности можно получить два значения предельной ошибки.

Указанные значения приведены в ячейках D61 и D62 соответственно. В них реализованы следующие формулы: = НОРМСТОБР ((0,9973+1)/2)*D60;

= СТЬЮДРАСПОБР (1-0,9973; 47)*D60.

Выборка считается репрезентативной, если величина ее относительной ошибки составляет не более 5%, т.е.

(41)

Учитывая, что , выборку следует признать представительной. Вместе с тем и вывод следует противоположный. В связи с этим, возникает естественный вопрос: какой же из результатов следует считать правильным? В различных источниках существуют разные рекомендации какую выборку считать малой: в одних менее 20 [4], в других менее 30 [5], в третьих менее 40 [10] и т.д. Для ответа на данный вопрос построим график функции

, приведенной на рис. 13.

Рисунок 10

Указанное преобразование возможно в силу того, что величина средней ошибки является одинаковой для и .Коэффициент доверия Гаусса на указанном рисунке изменяется от 1 до 3 с шагом 0,5. Соответствующие ему вероятности имеют следующие значения: 0,6827; 0,8664; 0,9545; 0,9876; 0,9973. Как следует из графика, погрешность в определении предельной ошибки при t =2, n=190 составляет около 1%, что соизмеримо с величиной относительной ошибки предельной выборки.

Известно, что распределение Стьюдента при увеличении объема выборки стремится к нормальному, а доверительный интервал, вычисленный с его применением является более надежным. Поэтому с точки зрения статистика (исполнителя) целесообразно использовать распределение Стьюдента в малых и больших выборках.

Учитывая изложенное, генеральная средняя активов банков с доверительной вероятностью 0,9973 лежит в пределах (ячейки D63, D 64).

В практике наиболее часто используется доверительная вероятность равная 0,95 [10], а величина относительной ошибки предельной выборки задается на уровне 5%.

Для рассматриваемого примера покажем зависимость объема бесповторной выборки от величины относительной ошибки, начиная с 0,01 до 0,05 с шагом 0,01, и коэффициентов доверия Гаусса от 1 до 3 с шагом 0,5.

Объем выборки в случае использования нормального распределения можно вычислить по формуле:

,

где или ,

где фигурные скобки означают округление вверх до ближайшего целого.

Формула объема выборки с использованием распределения Стьюдента аналогична приведенной выше, но вместе с тем решение можно получить только применением итерационных методов, так как . Поэтому решения, полученные с применением , можно использовать в качестве нулевого приближения для вычисления объемов бесповторной выборки с коэффициентами доверия Стьюдента.

На рис. 11, 12 показана зависимость объема бесповторной выборки от перечисленных ранее факторов. Анализ рисунков позволяет сделать вывод о том, что выбор величины коэффициентов доверия (вероятностей) и относительной ошибки должен быть достаточно обоснованным, т.к. это приводит к резкому увеличению объема выборки и, как следствие, к возрастанию материальных и временных затрат.

Рисунок 11

Рисунок 12

При известных значениях объемов выборок для различных сочетаний и , представляется возможным рассчитать соответствующие им величины предельных ошибок, используя распределения Стьюдента, т.е. оценить погрешность в вычислениях предельных ошибок, обусловленным применением распределения Гаусса. Соответствующий график представлен на рис. 13.

 

Рисунок 13

Как следует из графика – с увеличением значения относительной ошибки выборки погрешность ее вычисления резко возрастает и превосходит величину относительной ошибки почти в 2 раза. Изломы на графике объясняются дискретностью значений выборки.