Блок 6. Абсолютные и относительные величины, средние величины

 

Абсолютные величины – это численности единиц и суммы по группам, а также по совокупности в целом, которые являются результатом сводки и группировки данных.

Абсолютные величины – именованные числа с определенной размерностью и единицей измерения.

По способу выражения размеров изучаемых явлений абсолютные величины разделяются на индивидуальные и суммарные. Индивидуальные характеризуют размеры количественных признаков у отдельных единиц совокупности, а суммарные – совокупности в целом. Для абсолютных величин важным является вопрос выбора единицы измерения. Выделяют три типа единиц измерения: натуральные, денежные и трудовые.

Натуральные величины могут быть составными. Например, работа транспорта выражается в тонно-километрах или в пассажиро-километрах, а затраты труда в человеко-часах или в человеко-днях. Применяются также условно-натуральные единицы измерения, которые получают приведением различных натуральных единиц к одной, принятой за базу для приведения к общему знаменателю. Это может быть условная банка (емкость 353,4 см³⁾ в консервной промышленности или условное топливо в топливной промышленности.

Абсолютные величины получают не всегда суммированием, они могут быть получены путем сложных расчетов. Расчетным путем могут быть получены недостающие показатели с использованием балансовых связей. Например, З_н +П = Р + З_к, З_{н =} Р + З_к – П,

где З_н и З_к – запасы на начало и конец периода, П – поступления, Р – реализация в течение периода.

Относительные величины – это производные обобщающие показатели, представленные средними и относительными статистическими величинами. Анализ предполагает сопоставление величин тех или иных показателей, в результате такого сопоставления получают качественную оценку. Относительные величины – частное от деления двух величин, где числитель – это показатель, отражающий изучаемое явление, а знаменатель – показатель, с которым производится сравнение – база сравнения. База сравнения выступает своеобразным измерителем. В зависимости от того, какое значение имеет база сравнения результат сопоставления может быть выражен в виде кратных отношений - коэффициентов, процентных отношений, промилле (расчеты на 1000), децимилле (на 10000)

Относительные величины подразделяются на следующие виды: структуры, динамики, сравнения, координации, интенсивности, выполнения планового задания, выполнения плана. Расчеты этих показателей производится путем сопоставления следующих показателей:

 

Относительные величины

Формула расчета

Структуры   Динамики   Сравнения   Координации   Интенсивности   Планового задания   Выполнения плана

Часть единиц совокупности ОВС = ------------------------------------ Общий объем совокупности   Сравниваемый уровень явлений ОВД = --------------------------------------------- Уровень явления, взятый за базу сравнения   Одна совокупность ОВСр=------------------------------------(одноименные) Другая совокупность   Одна часть совокупности ОВК = ------------------------------------ Другая часть этой же совокупности   Одна совокупность ОВИ=-------------------------------------(разноименные) Другая совокупность   Плановое задание на предстоящий период ОВПЗ =-------------------------------------------------- Фактическое выполнение за базисный период   Фактическое выполнение ОВВП = ------------------------------------------------- Плановое задание

 

 

Разновидностью относительных величин являются средние величины. Нахождение средних величин для совокупностей – один из наиболее распространенных способов обобщения. Бельгийский статистик А. Кетле считал выделение средних величин основным приемом статистического анализа, сами средние величины не просто мерой математического измерения, а объективной реальностью. А. Кетле выдвинул теорию «среднего человека» как некий образец, наделенный всеми качествами в среднем размере. В 19 веке эта механистическая теория была популярна и стала предметом многих научных дискуссий. Средняя величина – абстрагируется от разнообразия отдельных единиц совокупности и уходит от структуры явления. Но такое абстрагирование находится в диалектическом единстве массового и индивидуального и является необходимым приемом статистического анализа.

В статистике средние величины имеют ключевое значение, являясь сводными обобщающими показателями. Средние величины – это обобщающая или типическая характеристика исследуемого количественно варьирующего признака на определенный момент времени в расчете на единицу совокупности.

Отдельная средняя величина характеризует изучаемое явление с одной стороны, для всестороннего изучения явления требуется исследование по возможно большему числу существенных признаков. Только в этом случае можно составить объективное представление о явлении в целом и отдельных его частях.

Различные средние величины можно представить в виде формулы степенной средней:

= ,

при z= 1- средняя арифметическая;

z= 2 – средняя квадратическая;

z= 0 - средняя геометрическая;

z= -1- средняя гармоническая;

 

Признак, по которому определяется средняя, называется осредняемым признаком (͞х), индивидуальные значения признака – варианты (х₁, х₂, х₃ …..х_n), а повторяемость вариантов - частота (f).

Средняя арифметическая – наиболее часто применяемая средняя величина:

͞х = = .

Например, группа туристов из десяти человек по числу заграничных туров распределилась следующим образом: 4, 2, 5, 2, 3, 1, 3, 6, 2, 3. Среднее число туров на одного человека в группе:

 

͞х =

 

Если туристов объединить в группы по числу туров, то их среднее значение можно подсчитать как среднюю арифметическую взвешенную (табл.3):

Таблица 3

Распределение группы туристов по числу заграничных туров, в которых они побывали

Варианты числа туров xi	Число туристов fi	Общее число туров xifi
Итого:

 

Часто возникает необходимость вычисления средних величин для интервальных рядов. Например, необходимо рассчитать средний возраст туристов различных возрастных групп (табл. 4).

Таблица 4

Распределение групп туристов по возрасту

Группы по возрасту в годах (хi)	Число туристов (fi)	Середина интервала (x`i)	x`i fi
до 20 20 – 40 40 - 60 60 и более
Итого:		-

 

Средний возраст группы туристов составляет:

Средняя гармоническая – это величина обратная средней арифметической, рассчитывается из обратных значений признака:

͞x_h= (простая); ͞ x_h = (взвешенная)

 

 

применяется, когда отсутствуют частоты по исходным данным, но они входят сомножителем в один из имеющихся показателей (табл. 5).

Таблица 5

Товар, реализуемый в различных магазинах	Цена за единицу (руб.) pi	Сумма реализации (т. руб.) Qi	Объем реализации (штук) qi =
1. 2. 3. 4.
Итого:	-

Известны цены и общая сумма выручки за один и тот же товар в разных магазинах. Для определения физического объема реализации необходимо сумму реализации в каждом магазине разделить на цены. Среднюю цену за товар по группе магазинов можно рассчитать по средней гармонической взвешенной:

Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая располагает рядом свойств, которые значительно упрощают расчеты на практике:

Свойство 1. Если все веса (f) увеличить или уменьшить в одинаковое число раз (а), то величина средней не изменится:

.

Свойство 2. Если каждую варианту (x) увеличить или уменьшить на одну и туже величину А, то средняя увеличится или уменьшится на ту же варианта отнять или прибавить произвольное постоянное число А, то средняя уменьшится или увеличится на то же число А:

Свойство 3. Если каждую варианту (х) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз (i), то средняя увеличится или уменьшится в то же число раз:

Свойство 4.. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней, взвешенных их частотами равна нулю:

Последнее свойство проверим на примере, когда турагентство организует поездки с различной дальностью:

№ тура	Дальность поездки (км.) х	Количество поездок   f	xf
				-11 -1 -21	-110 -20 -105
				-

км.; .

Блок 7. Структурные средние

Структурные средние характеризуют структуру рядов распределения. К структурным средним относятся мода и медиана. Мода (Мо) – значение признака, которое наиболее часто встречается в изучаемой совокупности. В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду мода определяется по формуле:

где нижняя граница модального интервала; величина модального интервала; частоты модального, домодального и послемодального интервалов.

Модальный интервал – интервал, имеющий наибольшую частоту (частость). Например, среднедушевые доходы городского населения распределись следующим образом (табл.6).

Таблица 6

Средний душевой доход за месяц, тыс. руб.	Число жителей в % к итогу (f)	Накопленные частости (S)	Середина интервала   (x)
до 5 5-10 10-15 15-20 20-25 30 и более			2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5
Итого		-	-

 

Рассчитаем модальное значение среднедушевых доходов населения города:

тыс. руб.

Наиболее частое значение среднедушевых доходов – 13125 рублей.

Медиана (Ме) - это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части – одна часть меньше, чем средний вариант, а другая больше. Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда. Например, стажи работы специалистов в туристской фирме – 1,2, 2, 3, 3, 4, 5 лет – медианой является четвертая варианта – 3 года. Для ранжированного ряда с четным числом членов ряда медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант, находящихся в середине ряда. Например, сотрудники туристской фирмы имеют следующие стажи работы по специальности: 2, 2, 3, 4, 4, 6 лет – медианой является значение, равное: (3+4):2=3,5 года.

Чтобы определить медиану, необходимо найти ее порядковый номер, а затем по накопленным частотам (частостям) определить величину варианта, обладающего таким номером.

Для определения медианного значения в интервальном ряду используется следующая формула:

где, нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала; полусумма частот ряда; - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; - частота медианного интервала.

Медианный интервал – интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для его определения подсчитывают суммы накопленных частот (частостей) до числа, превышающего половину объема совокупности.

Медианное значение среднедушевых доходов населения города составит:

тыс. руб.

Аналогичным образом могут быть рассчитаны четверти общего ряда – квартили, десятые доли – децили, сотые доли – процентили.

Блок 8. Показатели вариации

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности называется вариацией признака. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации. Различают вариацию признака случайную и систематическую. Анализ вариации позволяет оценить ее характер и определить насколько однородной является изучаемая совокупность и насколько характерной является ее средняя величина для данной совокупности.

Выделяют абсолютные и средние показатели вариации. Наиболее простой – размах вариации (R) – разность между наибольшим и наименьшим значением признака в распределении: R= .

Для получения обобщенной характеристики отклонений от средней рассчитывают среднее линейное отклонение для несгруппированных данных и для вариационного ряда показатель учитывается без знака этих отклонений.

На практике вариацию чаще оценивают с помощью показателя дисперсии в варианте без частот и

Если из дисперсии извлечь корень квадратный, то получится еще один показатель вариации – среднее квадратическое отклонение:

в варианте без частот и в варианте с частотами.

Коэффициент осцилляции характеризует относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

Наиболее распространенный показатель колеблемости, который дает обобщающую характеристику – коэффициент вариации:

Рассмотрим пример, где оценивается вариация стажа работы по специальности работников двух турфирм:

1-я 2-я

1 4

2 4

3 5

4 5

4 5

9 7

10 7

12 7

45 лет 45 лет

Проведем предварительные расчеты:

№ пп	Стаж (лет)			Стаж
		-4,6 -3,6 -2,6 -1,6 -1,6 3,4 4,4 6,4	21,16 12,96 6,76 2,56 2,56 11,56 19,36 40,96		-1,6 -1,6 -0,6 -0,6 0,4 1,4 1,4 1,4	2,56 2,56 0,36 0,36 0,16 1,96 1,96 1,96
		-	117,88		-	11,88

 

Сопоставим показатели вариации стажа работников у двух турфирм.

1-я фирма 2-я фирма

 

При одинаковых средних величинах стажа работников фирм вариация признака в первой фирме в три раза выше, чем в первой.

Преобразование формулы среднего квадратического отклонения приводит ее к виду , что делает ее удобнее для практических расчетов. Этот показатель широко применяется для расчетов показателей вариации в различных отраслях знания и техники. Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от среднего их значения.

Дисперсия альтернативного признака характеризует вариацию альтернативных признаков. Альтернативными признаками являются признаки, которыми обладают одни единицы изучаемой совокупности и не обладают другие. Например, в фирме работают мужчины и женщины, доля мужчин (р) и доля женщин (q) образуют целый коллектив сотрудников фирмы: p +q = 1. Средняя величина для альтернативных признаков равна а дисперсия . Если на фирме работает 15 мужчин и 20 женщин, то р= а , следовательно дисперсия альтернативного признака Максимальное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25, оно получается при р=0,5.

Правило сложения дисперсий. Если совокупность варьирующих элементов подразделить на несколько групп, то можно выделить: общую дисперсию (), внутригрупповую дисперсию (), среднюю из внутригрупповых дисперсий (), межгрупповую дисперсию ().

Общая дисперсия характеризует колеблемость признака во всей изучаемой совокупности и рассчитывается по формуле:

, где - общая средняя для всей совокупности.

Внутригрупповая дисперсия характеризует колеблемость признака внутри группы и рассчитывается по формуле:

, где - групповая средняя.

Средняя из внутригрупповых характеризует внутригрупповую колеблемость вокруг внутригрупповых средних и рассчитывается как средняя величина из внутригрупповых дисперсий:

, где - дисперсии отдельных групп, а f - численность отдельных групп.

Межгрупповая дисперсия показывает вариацию групповых средних вокруг общей средней, измеряет вариацию изучаемого признака под влиянием признака - фактора (группировочного признака) и рассчитывается по формуле:

, где и - средние и численности по отдельным группам.

Между всеми приведенными дисперсиями существует взаимосвязь, которая называется правилом сложения дисперсий – общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

.

Логика этого правила следующая: общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, должна быть равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии возникающей за счет фактора группировки. Зная два вида дисперсий, всегда можно определить или проверить правильность расчета третьего вида дисперсии. Например, имеются данные по среднедневной выработке сотрудников фирмы с различным стажем работы:

Группы сотрудников по стажу	Число сотрудников (f)	Средняя дневная выработка (т. руб.)	Дисперсия выработки
До 5 лет
Более 5 лет

т. рублей

, следовательно: .

В статистике применяется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, который показывает, какая часть общей вариации изучаемого признака обусловлена вариацией группировочного признака. Это коэффициент детерминации, рассчитываемый по формуле: .

Если извлечь корень квадратный из коэффициента детерминации, получаем новый показатель, который носит название корреляционное отношение:

.