Логический квадрат. Умозаключения по логическому квадрату

Разновидности отношений совместимости и несовместимости силлогистических формул простых атрибутивных категорических суждений принято фиксировать с помощью «логического квадрата». Логический квадрат (квадрат противоположностей) — диаграмма, показывающая логические отношения по значениям истинности между имеющими одинаковые термины простыми категорическими атрибутивными суждениями (рис. 9).

 

SaP	Противоположность (контрарность)	SeP
Подчинение (субординация)		Подчинение (субординация)
SiP	Частичное совпадение (субконтрарность)	SoP

 

Рис. 9

 

Разновидностями отношения совместимости являются: эквивалентность, субординация, субконтрарность.

 

v Пример

Суждения формулы SaP «Все гиппопотамы — бегемоты» (обозначим его А) и «Любой бегемот — это гиппопотам» (обозначим его В), область сказывания которых соответствует первой модельной схеме, находятся в не фиксируемом данной диаграммой отношении равнозначности (эквивалентности).

То есть при знании значения истинности первого суждения можно сделать вывод об том же значении истинности второго суждения: А |= В (SaP |= SaP — закон силлогистического тождества для общеутвердительных высказываний). В данном случае в роли субъекта и предиката выступает одно и то же имя (с одним и тем же объёмом и содержанием), имеющее разное языковое выражение.

 

Естественно, такого же рода умозаключение в плане значения истинности можно сделать из любой другой формулы простого категорического атрибутивного высказывания к тождественной (имеющей эквивалентную логическую структуру) формуле: SiP |= SiP — закон силлогистического тождества для частноутвердительных высказываний, соответственно, SeP |= SeP — закон силлогистического тождества для общеотрицательных высказываний и SoP |= SoP — закон силлогистического тождества для частноотрицательных высказываний.

В отношении подчинения (субординации) находятся суждения с одинаковыми терминами, имеющие одинаковое качество и разное количество.

 

v Пример

Суждение формы SaP «Все люди способны к логическому мышлению» находится в отношении подчинения (является подчиняющим) с суждением формы SiP «Некоторые люди способны к логическому мышлению»; суждение формы SeP — с суждением SoP: «Ни один металл не является неэлектропроводным» и «Некоторые металлы не являются неэлектропроводными».

 

Это значит, что 1) зная об истинности суждений-посылок формул SaP и SeP, мы выводим истинность суждений-заключений формул SiP и SoP, а именно: SaP |= SiP и SeP |= SoP, 2) зная о ложности суждений-посылок формул SiP и SoP, мы выводим ложность суждений-заключений формул SaP и SeP, а именно: ØSiP |= ØSaP и ØSoP |= ØSeP (читается «Если неверно, что некоторые S есть P, то неверно, что все S есть P» и «Если неверно, что некоторые S не есть P, то неверно, что ни один S не есть P»).

В случае же истинности частноутвердительного суждения логического следования в отношении суждения общеутвердительного не имеется, равно как и в случае истинности частноотрицательного суждения не следует достоверного вывода в отношении истинностной характеристики суждения общеотрицательного, т. е. истинность частного суждения оставляет общее неопределённым. Несоблюдение этого правила ведёт к логической ошибке, называемой «поспешное обобщение», суть которой заключается в том, что рассмотрев несколько частных случаев из какого-либо класса явлений, делают вывод обо всём классе.

 

v Пример

«Верно, что некоторые учащиеся нашей группы — музыканты», но истинно или ложно, что «Все учащиеся нашей группы — музыканты», логически не установить; «Верно, что некоторые учащиеся нашей группы не являются музыкантами», но истинно ли или ложно, что «Ни один учащийся нашей группы не является музыкантом»?

 

Не представляется возможным получить логическое следование применительно к суждениям в отношении подчинения и при использовании в качестве посылок ложных общеутвердительных и общеотрицательных суждений, т. е. ложность общего суждения оставляет частное суждение неопределённым.

 

v Пример

«Неверно, что все учащиеся нашей группы — музыканты», но истинно ли или ложно, что «Некоторые учащиеся нашей группы — музыканты» логически не установить.

 

В отношении частичного совпадения (субконтрарности) находятся суждения с одинаковыми терминами, имеющие разное качество и частные по количеству. Такие суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то другое с необходимостью истинно. В таком случае имеет место закон субконтрарного исключённого третьего.

 

v Пример

Из ложности суждения «Некоторые металлы не являются электропроводными» логически следует истинность суждения «Некоторые металлы являются электропроводными», что может быть формализовано: ØSoP |= SiP. Соответственно, из формулы ØSiP логически следует истинность формулы SoP (ØSiP |= SoP), например «Если неверно, что некоторые киты являются рыбами, то истинно, что некоторые киты рыбами не являются».

 

Из истинности же одного из суждений, находящихся в отношении субконтрарности, истинность или ложность другого логически не следует.

 

v Пример

«Верно, что некоторые слова записаны чёрными буквами», но следует ли из этого что-либо с логической необходимостью в отношении истинности или ложности суждения «Некоторые слова не записаны чёрными буквами»?

Итак, отношения равнозначности, подчинения и частичного совпадения характеризуют суждения, являющиеся совместимыми, т. е. выражающими одну и ту же мысль полностью (суждения в отношении равнозначности) или в некоторой части (суждения в отношении подчинения и частичного совпадения).

Как было отмечено выше, помимо совместимых суждений существует класс несовместимых суждений, т. е. не выражающих одну и ту же мысль полностью или в некоторой части, принципиально не могущих быть одновременно и в одном и том же отношении истинными, иначе происходит нарушение уже известных нам законов противоречия и исключённого третьего.

К несовместимым суждениям относятся простые категорические атрибутивные суждения, находящиеся в отношениях противоположности (противности, контрарности) и противоречия (контрадикторности).

В отношении противоположности (контрарности) находятся суждения с одинаковыми терминами, являющиеся общими по количеству и имеющие разное качество. Из истинности одного из противоположных суждений логически следует ложность другого согласно закону контрарного противоречия (SaP |= ØSeP, SeP |= ØSaP), но ложность одного из них оставляет другое суждение неопределённым.

 

v Пример

«Если верно, что ни один из нас не лжёт, то неверно, что всякий из нас говорит ложь», но если «Неверно, что все птицы улетают на юг», то следует ли из этого что-либо с логической необходимостью в отношении истинности или ложности суждения «Все птицы не улетают на юг»?

В отношении противоречия (контрадикторности) находятся суждения с одинаковыми терминами, имеющие как разное качество, так и разное количество. Такие суждения не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными, поэтому из истинности одного из них с логической необходимостью следует ложность другого, а из ложности — истинность другого: SaP |= ØSoP, SiP |= ØSeP, SeP |= ØSiP, SoP |= ØSaP, ØSaP |= SoP, ØSiP |= SeP, ØSeP |= SiP, ØSoP |= ØSaP.

 

v Пример

Дедуктивным является рассуждение: «Если верно, что все присутствовавшие на лекции поняли излагавшийся учебный материал, то неверно, что некоторые из присутствовавших на этой лекции не поняли излагавшегося учебного материала».

 

4.3. Непосредственные дедуктивные преобразования суждений в позитивной силлогистике

Рассмотрим также другую разновидность непосредственных дедуктивных умозаключений — выводы из суждений посредством их преобразования. В такого рода дедуктивных умозаключениях суждение-заключение получается за счёт определённых, сохраняющих объём сказывания, изменений в логической структуре суждения-посылки, т. е. здесь происходит логический переход от одной формулы к эквивалентной ей другой формуле.

Этот логический переход осуществляется посредством следующих возможных изменений в логической структуре исходного суждения: смены кванторного слова (через изменение количественной характеристики суждения) или смены предицирующей связки (через изменение качественной характеристики суждения) или перемены мест субъекта и предиката.

В рамках позитивной традиционной силлогистики таким умозаключением является обращение (conversio).

Обращение — это непосредственное умозаключение, в котором субъект заключения совпадает с предикатом посылки, а предикат заключения совпадает с субъектом посылки, при этом качественная характеристика заключения остаётся идентичной качественной характеристике посылки.

Схема обращения:

 

S есть P

^___________ (черта означает наличие логического следования).

P есть S

 

Применяя эту схему к различным формулам простого атрибутивного категорического суждения, получим два типа обращения, различающиеся наличием или отсутствием изменения количества в ходе умозаключения.

 

v Пример

Из истинного общеутвердительного суждения «Все огранённые алмазы — бриллианты» за счёт перестановки местами субъекта и предиката получим истинное общеутвердительное суждение «Все бриллианты являются огранёнными алмазами».

Из истинного же общеутвердительного суждения «Все львы — хищники» посредством обращения получим истинное частноутвердительное суждение «Некоторые хищники — львы».

 

Нетрудно заметить, что в первом случае суждение формулы SaP отвечает первой модельной схеме (субъект и предикат совпадают по объёму, распределены), поэтому при перестановке терминов местами количественная характеристика не изменяется, т. е. имеет место логическое следование SaP |= SaP.

Во втором же случае суждение формулы SaP отвечает второй модельной схеме (подчинение объёма субъекта объёму предиката, распределённость субъекта и нераспределённость предиката), поэтому при перестановке терминов местами объём сказывания сохраняется за счёт изменения количественной характеристики, т. е. имеет место логическое следование SaP |= SiP.

Таким образом, существует два вида обращения: «чистое обращение»и «обращение с ограничением».

Чистым обращением (conversio simplex) называется обращение, дающее заключение с той же количественной характеристикой, что и посылка. Такое обращение имеет место тогда и только тогда, когда S и P исходного суждения либо оба распределены, либо оба не распределены.

Помимо формулы SaP, отвечающей второй модельной схеме, по типу чистого обращения происходит умозаключение из формулы SiP, отвечающей первой модельной схеме, и из формулы SeP (S⁺, P⁺).

 

v Пример

Некоторый S^- есть P^- («Часть студентов — отличники»)

^{__________________________________________________________________________}

Некоторый P^- естьS^- («Часть отличников — студенты»);

 

Всякий S⁺ не есть P⁺ («Ни один газ не есть твёрдое тело)

^{__________________________________________________________________________}

Всякий P⁺ не есть S⁺ («Ни одно твёрдое тело не есть газ).

 

Обращением с ограничением (conversio per accidens) называется обращение, дающее заключение с иной количественной характеристикой, чем у посылки. Такое обращение имеет место в том случае, если S исходного суждения распределён, а P не распределён, либо не распределён S, но распределён P.

Таким образом, оно осуществляется для формулы SaP по второй модельной схеме (S⁺, P^-) и для формулы SiP по второй модельной схеме (S^-, P⁺).

 

 

v Пример

Всякий S⁺ есть P^- («Всякая столица является городом»)

^{___________________________________________________________________________}

Некоторый P^- есть S⁺ («Некоторые города — столицы»);

Некоторый S^- есть P⁺ («Часть юристов — прокуроры»)

^{_________________________________________________________________________}

Всякий P⁺ естьS^- («Все прокуроры — юристы).

 

Применительно к формуле SoP нельзя получить логического следования.

 

v Пример

Из истинного частноутвердительного суждения (вторая модельная схема, S^- и P⁺) «Некоторые живые существа не являются людьми» путём обращения нельзя получить истинного суждения, что означает невозможность осуществления логического следования для данной формулы в целом.