Элементы орбит электрона в атоме водорода

Стац. состояние k	Тип орбиты и её номер	Орбитальное число n	Скорость в перицентре V^/n1×10^6, м×с	Скорость в апоцентре V^/a1·10^6, м×c	Перицентральный радиус r^/п1×10^-10, м	Апоцентральный радиус r^/а1×10^-10, м
I	Круговая	1	2,186500611	2,186500611	0,529177249	0,529177249
II	1-я круговая 2-я эллиптическая	2 1	1,093228498 4,080011431	1,093228498 0,292931642	2,116751219 0,283589719	2,116751219 3,949885269
III	1-я круговая 2-я эллиптическая 3-я эллиптическая	3 2 1	0,728816306 1,908068681 4,247877841	0,728816306 0,278383469 0,125045849	4,762707838 1,212793217 0,272382215	4,762707838 8,312608374 9,252977104
IV	1-я круговая 2-я эллиптическая 3-я эллиптическая 4-я эллиптическая	4 3 2 1	0,546611523 1,210882086 2,039985368 4,303484883	0,546611523 0,246749450 0,146464359 0,069429114	8,467047101 2,866620271 1,134367330 0,268862656	8,467047101 14,06746452 15,79969878 16,66514681

 

Продолжение табл. 5.2

Стац. состояние К	Тип орбиты и её номер	Зарядовое число, z/	Длина большой оси орбиты ×10^-10, м	Длина малой оси орбиты ×10^-10, м	Полная энергия Е×10^-19, Дж	Период обращения ×10^-16, с
I	Круговая	1,000026596	1,058354498	1,058354498	21,78687544	1,520657574
II	1-я круговая 2-я эллиптическая	1,000006648 1,000013297	4,233502438 4,233474988	4,233502438 2,116737494	5,446501565 5,446573992	12,16574593 12,16558416
III	1-я круговая 2-я эллиптическая 3-я эллиптическая	1,000002954 1,000004432 1,000008865	9,525415676 9,525401591 9,525359319	9,525415676 6,350267727 3,175119773	2,420649477 2,420656632 2,420678093	41,05969589 41,05957452 41,05921049
IV	1-я круговая 2-я эллиптическая 3-я эллиптическая 4-я эллиптическая	1,000001662 1,000002216 1,000003324 1,000006648	16,93409420 16,93408479 16,93406611 16,93400946	16,93409420 12,70056359 8,467033055 4,233502366	1,361611812 1,361613322 1,361616339 1,361625391	97,32693805 97,32683021 97,32661453 97,32596751

 

Радиусы круговых орбит, перицентральные и апоцентральные радиусы эллиптических орбит можно определить по формуле

.

Эффективные зарядовые числа для электрона, движущегося по круговым орбитам, в атоме водорода определим по формуле

,

а при движении по эллиптическим орбитам по формуле

.

Длину большой оси эллипса можно вычислить по формуле (116), но проще по формуле

.

Длину малой оси находим по формуле

.

Полную энергию вычислим по формуле (125), которая для атома водорода примет вид

.

Для атома водорода формула (128) также упростится:

.

На основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы. Каждая орбита характеризуется только двумя квантовыми числами k и n. В атоме водорода зарядовое число z равно единице только для электрона, неподвижного относительно ядра. Для электронов, движущихся по орбитам, зарядовое число z^/ больше единицы. У электронов, находящихся в одном стационарном состоянии, но движущихся по орбитам с разными значениями n, длины больших осей имеют разные значения и соответственно разные у них будут и полные энергии. В атоме водорода достаточно с высокой точностью экспериментально определить параметры первой боровской орбиты. Параметры остальных возможных орбит можно с той же точностью определить расчетом по вышеприведенным формулам. На рис. 5.1 изображены в масштабе возможные орбиты для четырех стационарных состояний электрона в атоме водорода.

 

Рис. 5.1. Орбиты электрона в атоме водорода

 

 

Атом гелия

 

Потенциал ионизации может быть выражен в джоулях, электронвольтах и в см^-1. Уточним значения переводных множителей из см^-1 в джоули и электронвольты. Потенциал ионизации водорода Е = 21,78687544×10^-19 Дж = 13,59829218 эВ = 1,09677583×10⁷ м^-1. Отсюда находим

1 эв = 8,065540992×10³ см^-1;        1 Дж = 5,034112546×10²² см^-1.

Потенциал ионизации водорода, выраженный в волновых числах, можно определить по формуле

,

а выраженный в джоулях, - по формуле

.

Поделив правую часть первого уравнения на правую часть второго уравнения и приняв во внимание, что , получим

1 Дж = или 1 эВ = .

Отсюда можно сделать вывод, что волновое число, соответствующее 1 Дж, не зависит от эффекта движения. В настоящее время при определении волнового числа, соответствующего 1 эВ, заряд электрона принят равным 1,60217733·10^-19 Кл, т.е. с учетом эффекта движения. Результаты расчетов будут более точны, если волновое число, соответствующее 1 эВ, определять по формуле

1 эВ = ,

где е=1,602156024 · 10^-19 Кл. В этом случае 1 эВ=8,065433735 · 10³ см^-1.

Теперь перейдем к расчету атома гелия. Скорость электрона на первой орбите положительного иона гелия находим по формуле (112)

V = 4,374670768×10⁶ м×с^-1.

С учетом эффекта движения

4,375136606×10⁶ м×с^-1;

=2,000212970.

По формуле (125) находим ионизационный потенциал Е=87,19702679×10^-19 Дж. При расчетах значение b для гелия было принято равным 1,000136117.

Чтобы электрон в атоме гелия достиг оптического предела, требуется затратить энергию, равную 198310,76 см^-1 [73] или 39,3933902×10^-19 Дж. Энергетический баланс можно выразить следующим уравнением:

=39,3933902×10^-19 Дж,

где V^/₁ и V^/₂ - скорости электронов на внутренней и наружной орбитах; V^/_1в - скорость электрона на внутренней орбите после удаления наружного электрона на последнюю из возможных орбит в атоме гелия.

Выразив скорости электронов через V_н, последнее уравнение можно записать в виде

=39,3933902·10^-19 Дж. (134)

Многоэлектронный атом будет устойчив только в том случае, если периоды обращения электронов будут кратными периоду обращения электрона на самой нижней орбите. В атоме гелия период обращения наружного электрона Т₂ в два раза больше периода обращения внутреннего электрона Т₁. Формула (128) позволяет записать

.                    (135)

Выразив z  через z  и подставив значения других известных величин в формулу (134), находим z = 1,391442257. По формулам (108), (112) и (135) находим r  = 0,380318565×10^{-10 м,
V}  = 3,043551045×10⁶м×с^-1, z =1,967796512, r  =0,268925832×10^{-10 м, V = 4,4231167}×10⁶ м×с^-1

Отношение периода обращения наружного электрона во втором стационарном состоянии к периоду[AK1] обращения электрона на внутренней орбите равно

.                  (136)

Приблизительное значение z  можно определить по формуле

,

где Е - энергия, которая требуется для перевода наружного электрона из невозбужденного состояния в возбужденное.

Подставляя в формулу (136) значения z =1,2 и z =2, находим Х=22, . Теперь формулу (134) можно записать в виде

,             (137)

где Е =38454,691 см^-1 =7,63882226×10^-19Дж.

Подставляя в последнее уравнение известные величины, находим z =1,204345354; z =1,997180828; V =1,31715367×10⁶м×с^-1; V =4,36850452×10⁶м×с^-1; r =1,75760656×10^-10м; r =0,264969158×10^-10м.

В таблице 5.3 приведены основные параметры орбит электронов в атоме гелия для трех стационарных состояний наружного электрона. Значения величин z^/, l ^/, E, и Т были вычислены соответственно по формулам (137), (116), (125), и (128). Вычисленные значения r_n, r_a, V_n, V_a, и b приведены в работе [72]. На рис. 5.2 изображены в масштабе орбиты электронов в атоме гелия.

Таблица 5.3