Орбитальное движение тела малой массы

 

Два взаимодействующих тела заставляют друг друга двигаться по орбитам. Если масса центрального тела очень велика и его движением можно пренебречь, то тогда для единичной массы малого тела можно записать законы сохранения энергии и момента количества движения в следующем виде [51]:

;         ,

где V – орбитальная скорость; r – радиус – вектор; V_t – тангенциальная скорость.

При гравитационном взаимодействии , где - гравитационная постоянная; - масса центрального тела.

 Для тела, движущегося по эллиптической орбите, будут выполняться следующие равенства:

;      ;                  ,

где  и - скорости тела в перицентре и апоцентре;  и - перицентральный и апоцентральный радиусы.

Решая данную систему уравнений, находим

,

где - длина большой оси эллипса.

Теперь для каждой возможной орбиты интеграл энергии и орбитальную скорость можно выразить следующими формулами:

для эллиптической

;     ;

для круговой

;        ;

для параболической

;               ;             (53)

для гиперболической

; .

Для каждого типа орбит тангенциальная скорость будет равна

.

Найдя значения  по формулам (53), окончательно получим:

для эллиптической орбиты

_;

для круговой

;

для параболической

_;

для гиперболической

.

Радиальную скорость определим по формуле

.

Для эллиптической орбиты

;

для круговой

;

для параболической

;

для гиперболической

.

Уравнения орбит можно получить из соотношения

;               (54)

для эллиптической

или ;

для круговой

;

для параболической

 или ;     (55)

для гиперболической

 или ,

где - истинная аномалия. Уравнения (55) выражают первый закон Кеплера.

Время прохождения телом элемента длины орбиты  равно

.                               (56)

Из этого выражения находим:

для эллиптической орбиты

;

для параболической

;                    (57)

для гиперболической

.

Выведем теперь второй закон Кеплера. Секториальная скорость

.

Подставляя в это уравнение значение  из (54), а значение  из (56), получим

.

Таким образом, для всех типов орбит секториальная скорость является постоянной величиной. Площадь, описываемая радиусом-вектором за время , равна

.

Выражение для третьего закона Кеплера получим, найдя величину полупериода по формуле (57) для эллиптической орбиты:

или .

При наблюдении с Земли за искусственными спутниками удобнее пользоваться формулами, выражающими время через истинную аномалию:

для эллиптической орбиты

;

для параболической

;

для гиперболической

.

В любой момент можно определить не только координаты тела, но и направление его движения. Пользуясь зависимостью , находим:

для эллиптической орбиты

;

для параболической

;

для гиперболической

,

где - угол между радиусом – вектором и направлением движения.

Можно сказать, что парабола является эллипсом с бесконечно большой осью. Скорость тела, движущегося по параболической траектории, в бесконечности стремится к нулю. Скорость же тела, движущегося по гиперболической траектории, в бесконечности будет стремиться к вполне определённой конечной величине. Её можно определить исходя из закона сохранения энергии:

; ,

откуда

.