Общий закон отражения и преломления волн

 

При отражении волн от зеркала, находящегося в сложном движении (рис. 1.6), уравнение семейства вторичных волн запишется в следующем виде:

,

где x₀, y₀ и t₀ – соответственно координаты и время встречи каждого луча с зеркалом; x и y – координаты точек вторичных волн в рассматриваемый момент времени; t – промежуток времени с момента излучения волн до момента образования данного семейства.

 

Рис. 1.6. Отражение волны от произвольно движущегося зеркала

Параметрические уравнения огибающей данного семейства

;   (4)  

,    (5)

где ,  и  - производные от x₀, y₀ и t₀.

Направление отраженного луча определяется направлением нормали к фронту отраженной волны:

;          (6)

;          (7)

.             (8)

Можно показать, что все вышевыведенные законы отражения и преломления волн являются частным случаем общего закона. Для этого нужно в каждом конкретном случае найти значения x_0, y_0, t₀ и их производные и подставить в формулы (4)-(8). Эти формулы позволяют решать и другие задачи. Например, если зеркало движется с переменной скоростью по закону V=V₀+at₀, где V₀  - скорость движения зеркала в момент излучения волны; а – ускорение, то тогда

;      ;

.

Подставив производные x₀ ,y₀ и  t₀  в уравнения (4)-(8), получим искомые зависимости. Конечный результат ввиду громоздкости не приводим.

Если зеркало вращается, то координаты точек встречи каждого луча точечного источника с зеркалом (рис. 1.7) выразятся формулами

 ;

 .

В опыте Саньяка зеркала вращаются по окружности радиуса R (рис. 1.8).

Рис. 1.7. Отражение сферической волны
от вращающегося зеркала

 

Значение координат x₀ и y₀ можно вычислить по формулам

; .

Общий закон отражения и преломления волн справедлив как в оптике, так и в акустике [12].

 

Рис. 1.8. Ход лучей в опыте Саньяка
относительно неувлекаемого эфира

 

 

1.6. Релятивистский закон отражения волн
от поступательно движущихся зеркал

 

Закон отражения световых волн от движущегося плоского зеркала выводится следующим образом. Пусть зеркало движется относительно наблюдателя и источника света вдоль своей нормали (рис.1.9). В системе отсчета S, в которой зеркало покоится, справедлив обычный закон отражения, то есть угол падения α равен углу отражения β. В системе отсчета S^/, в которой находится наблюдатель, это равенство нарушается.

Угол падения α^/  не равен углу отражения β^/. Соотношения между углами α и α^/ и соответственно между углами β и β^/ имеют следующий вид [13]:

 

; ; (9)

 

; ;      (10)

 

; .          (11)

 

Рис. 1.9. Отражение света от движущегося зеркала

 

 

Приравнивая правые части уравнений, закон отражения световых волн от движущихся зеркал в системе отсчета S^/ можно записать в следующем виде:

;                     (12)   

 

;                  (13)

 

.                (14)

 

Эти уравнения легко преобразуются к виду

 

;    (15)

 

;    (16)

 

.               (17)

 

Сравнивая формулы (15)-(17) с формулами (1)-(3), обнаруживаем их поразительное сходство. Зависимость между углом падения и углом отражения в системе отсчета, в которой находятся наблюдатель и источник света, такая же, как и в системе координат, связанной с неувлекаемым эфиром, согласно классической физике. В первом случае зеркало движется со скоростью V относительно наблюдателя, а во втором – относительно неувлекаемого эфира.

Если связать систему координат с движущимся относительно эфира зеркалом, то будем наблюдать следующую картину (рис.1.10). В момент излучения волны зеркало находится на расстоянии S от источника света. Луч, падающий на зеркало под углом α, встретится с ним в точке m через промежуток времени

.

В системе координат, связанной с зеркалом, луч падает на зеркало под углом α₁.

Из треугольника dem и de₁m находим

.                      (18)

 

Рис. 1.10. Ход лучей в системе координат, связанной с зеркалом

 

Отразившийся луч света пройдет отрезок mn за промежуток времени

.

Из треугольника kmn и km₁n для отраженного луча находим

.

Подставляя в последнюю формулу значения sinβ и cosβ, согласно формулам (1) и (2) получим

.

Сравнив это с формулой (18), видим

.

Итак, согласно теории о неувлекаемом эфире, в системе координат, связанной с движущимся зеркалом, для падающей и отраженной волн имеет место равенство углов падения α₁  и углов отражения β₁. Эти углы образованы нормалью к зеркалу km₁ и отрезками e₂m₁ и m₁n. Они указывают на кажущиеся направления распространения падающей и отраженной волн относительно зеркала. Отрезки em и mn, изображенные сплошными линиями, являются нормалями к фронтам падающей и отраженной волн. Они указывают на истинное направление распространения волн относительно эфира. Зависимость между углами α и β, образуемыми этими отрезками с нормалью к зеркалу km, выразится формулами (1)-(3). При выводе релятивистского закона отражения волн от движущихся зеркал было принято без доказательства, что в системе отсчета, связанной с движущимся зеркалом, углы падения и отражения волн равны.

Значения углов падения и отражения волн в системе координат, связанной с зеркалом, можно выразить через значения соответствующих углов в системе координат, связанной с эфиром, следующими формулами:

 

,

(19)

;

 

,

(20)       

;

 

,         . (21)

 

Приравняв правые части уравнений, получим новые выражения закона отражения волн от поступательно движущихся зеркал в системе координат, связанной с эфиром:

 

,           (22)

 

,     (23)

 

.                        (24)

 

Эти уравнения можно легко преобразовать в формулы (1), (2) и (3).

Сравнивая уравнения (22), (23) и (24) с уравнениями (12), (13) и (14), замечаем, что уравнение (14) имеет такой же вид, как и уравнение (24). Уравнения (12) и (13) преобразуем к виду

 

(25)

 

 (26)

 

Множители левых и правых частей уравнения равны

= .

В этом легко убедиться, если принять во внимание уравнение (14). После сокращения на общий множитель уравнения (25) и (26) становятся подобными уравнениям (22) и (23). Теперь релятивистский закон отражения волн от движущихся зеркал можно записать в следующем виде:

 

= – ,

 

= ,

 

.

 

Как видим, законы отражения от поступательно движущихся зеркал, согласно теории относительности и согласно теории неувлекаемого эфира, выражаются подобными уравнениями. Однако согласно теории относительности процессы отражения волн рассматриваются в системах отсчета, связанных либо с наблюдателем, либо с движущимся зеркалом, а согласно теории неувлекаемого эфира эти процессы рассматриваются в системах координат, связанных либо с эфиром, либо с зеркалом. Как изменятся величины углов падения и углов отражения при переходе от одной системы отсчета к другой в первом случае, и как они будут меняться при переходе от одной системы координат к другой во втором случае, можно вычислить соответственно по формулам (9)-(11) и (19)-(21). Формулы, полученные с помощью теории относительности, и формулы, полученные с помощью теории неувлекаемого эфира, имеют разный вид. Для их сравнения преобразуем формулы (9)-(11) к виду

;

 

;

 

;

 

;

 

; .

 

Сравнив полученные выражения с формулами (19)-(21), замечаем, что абсолютные величины углов, согласно теории относительности и теории эфира, не равны. Это является следствием ошибочных допущений в теории относительности.

 

 

1.7. Закономерности распространения волн
в неоднородных средах

 

Выше были даны выводы формул для волн, распространяющихся в однородных средах. Однако во многих областях науки и техники приходится иметь дело с волнами, распространяющимися в неоднородных средах. В качестве примеров рассмотрим распространение акустических волн в океане и световых волн в воздушной оболочке Земли. Скорость звука в океане растет с увеличением глубины траектории луча, а скорость света растет с увеличением высоты траектории луча. Если пренебречь кривизной поверхности земного шара, то траектория акустического луча в океане и траектория светового луча в воздушной оболочке Земли изобразятся кривыми, показанными соответственно на рис. 1.11,а и 1.11,б.

При распространении волн в плосконеоднородных средах выполняется следующая зависимость:

,

где β₀ и β – углы между осью h и направлением луча соответственно в точке входа его в среду и в любой произвольной точке траектории; С и С₀ – скорости распространения волн в этих точках.

 

а)                                       б)

Рис. 1.11. Распространение волн в плосконеоднородных средах:
 а – в океане; б – в воздушной оболочке земли

 

Скорость звука в океане и скорость света в атмосфере Земли можно выразить формулой [6,14] , где h – глубина (высота) траектории луча; k – градиент скорости распространения волны. Теперь последнее выражение можно записать следующим образом:

.

С учетом этого из соотношения

находим координату L

.

Это уравнение можно преобразовать к виду

.

Таким образом, убеждаемся, что траекториями лучей являются окружности с радиусами R=C₀/ksinβ₀ и координатами их центров L=(C₀ctg β₀)/k; h= C₀/k. Положительное значение координаты h относится к световым лучам, а отрицательные – к акустическим.

Время пробега волной элемента длины траектории луча dS равно

.

Полное время пробега, выраженное через угол β, равно

.

Далее находим длину цикла L_ц, максимальную глубину (высоту) траектории h_max и время цикла t_ц [15]:

; ; .

При распространении волн в сферически-неоднородных средах (рис. 1.12) выполняется зависимость [16]

,

где β₀ и β – углы преломления; С₀ и  - скорости распространения волн на расстояниях R₀ и R от центра Земли.

а)                                                   б)

Рис. 1.12. Распространение волн в сферически-неоднородных
средах: а – в океане; б – в воздушной оболочке земли

 

Из последнего выражения следует

 

.

С учетом этого из соотношения

находим величину центрального угла

 

.

 

Центральный угол полного цикла

,

а длина цикла .

Глубину траектории луча в каждый данный момент можно определить из выражения

,

откуда максимальная глубина траектории

.

Время пробега волной элемента длины траектории луча dS равно

.

Полное время пробега, выраженное через угол β, равно

.

Время цикла

.

Фаза гармонической волны в любой точке траектории α=2πft, где f – частота сигнала.

В таблице 1.1 приведены результаты расчета траекторий акустических лучей в океане. Буквами без штрихов и со штрихами обозначены величины, полученные соответственно с учетом и без учета кривизны океана.

 

Таблица 1.1