Математическое описание обобщенной асинхронной машины.

Обобщенная асинхронная машина показана на рис 59. Она содержит трехфазную обмотку на статоре и трехфазную обмотку на роторе. Обмотки статора и ротора подключены к симметричным трехфазным источникам напряжения. Математическое описание такой машины базируется на известных законах.

Уравнением равновесия э.д.с. на обмотках статора и ротора базируются на втором законе Кирхгофа.

 

 

Рис.59 – Обобщенная асинхронная машина

 

Для статора: Для ротора:

 

 

(48)

 

В уравнениях (481) фигурируют мгновенные напряжения, токи потокосцепления статора и ротора, а также активное сопротивление обмоток. Обычно обмотки выполняются симметричными, и поэтому - активное сопротивление статорной обмотки, - активное сопротивление роторной обмотки.

Вторым используемым законом является закон Ампера, который связывает потокосцепление обмоток с токами, протекающими по обмоткам:

Для статора:

 

(48*)

 

Для ротора:

Удивительно симметричные уравнения для определения потокосцеплений показывают, что потокосцепление каждой обмотки зависит от токов во всех обмотках; эти зависимости проявляются через взаимоиндукцию. В уравнениях (48*) являются собственными индуктивностями соответствующих обмоток, все остальные – взаимоиндуктивностями между соответствующими обмотками.

Третьим законом, лежащим в основе анализа, является второй закон Ньютона – закон равновесия моментов на валу машины:

(49)

где (кГМ²)- момент инерции на валу машины, учитывающий инерционность как самой машины, так и приведенной к валу инерционности рабочего механизма и редуктора;

() – угловая скорость вала машины;

(Нм) – момент рабочего механизма, приведенный к валу, в общем случае он может быть функцией скорости и угла поворота.

Наконец, четверым и последним законом, лежащим в основе анализа машины, является закон, сформулированный Ленцем как правило левой руки. Этот закон связывается векторные величины момента, потокосцепления и тока:

(50)

Следует сразу подчеркнуть, что, несмотря на полное и строгое математическое описание, использование уравнений (48) – (50) для исследование машины встречает серьезные трудности.

В уравнениях (49 и 50) фигурируют векторные величины, а в уравнениях (48 и 48*) скалярные;

Количество взаимосвязанных уравнений равно 14, а количество коэффициентов – 4;

Коэффициенты взаимоиндуктивности между обмотками статора и ротора в уравнениях (48*) является нелинейным, так как в нем перемножаются переменные.

На пути упрощения математического описания асинхронной машины, да и вообще всех машин переменного ток, удивительно удачным и изящным оказался метод пространственного вектора, который позволит существенно упростить и сократить вышеприведенную систему уравнений; метод позволяет связать уравнения (48 -50) в единую систему с векторными переменными состояния. Суть метод состоит в том, что мгновенные значения симметричным трехфазных переменных состояния (напряжения, токи, потоскостцепления0 можно математически преобразовать так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором. это математическое преобразование имеет вид (например, для тока статора):

(51)

где , - векторы, учитывающие пространственное смещение обмоток;

- Трехфазная симметричная токов статора. подставим в уравнения (51) значение мгновенных токов, найдем математическое описание пространственного вектора статора ока:

(51*)

На рисунке 60 представлена геометрическая интерпретация пространственного вектора тока – это вектор на комплексной плоскости с модулем (длиной) , вращающийся с угловой скоростью в положительном направлении. Проекции вектора на фазные оси А, В, С определяют мгновенные токи в фазах. Аналогично пространственными векторами можно представить все напряжения, токи и потокосцепление, входящие в уравнения (48), (48*).

Теперь можно переходить к упрощению уравнении.

Рисунок 60– Пространственный вектор тока.

 

Шаг первый. Для преобразования уравнений (48) в мгновенных значениях к уравнениям в пространственных векторах умножим их на выражения, (первый уравнения на , вторые – на , третьи – на )и сложим раздельно для статора и ротора. Тогда получим:

 

(52)

где - собственные индуктивности статора и ротора;

- взаимная индуктивность между статором и ротором.

Таким образом, вместо двенадцати уравнений (48) – (48*) получено лишь четыре уравнения(52).

Шаг второй. Переменные коэффициенты взаимной индуктивности у уравнениях для потокосцеплений (52) являются результатом того, что уравнения равновесия э.д.с. для статора записаны в неподвижной системе координат, связанной со статором, а уравнения равновесия э.д.с. для ротора записаны во вращающейся системе координат, связанной с ротором. Метод пространственного вектора позволяет записать эти уравнения в единой системе координат, вращающейся с произвольной скоростью . В этом случае уравнения (52) преобразуются к виду:

 

 

(53)

 

 

где , - число пар полюсов в машине.

В уравнениях (53) все коэффициен6ты являются величинам постоянным, имеют четкий физический смысл и могут быть определены по паспортным данным двигателя, либо экспериментально.

Шаг третий. Этот шаг связан с определением момента. момент в уравнении (50) является векторным произведением любой пары векторов. Из уравнения (53) следует, что таких пар может быть шесть ; ; ; ; ; . Часто в рассмотрение вводиться потокосцепление взаимной индукции . В том случае появляется ещё четыре возможности представления электромагнитного момента машины через следующие пары: ; ; ; . После выбора той или иной пары уравнение момента приобретает определённости, а количество уравнений в системе (53) сокращается до двух. Кроме того, в уравнениях (49) и (50) векторные величины момента и скорости могут быть заменены их модульными значениями. Это является следствием того, что пространственные векторы токов и потокосцепления расположены в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а векторы момента и угловой скорости совпадают с осью. В качестве примера покажем запись уравнений момента через некоторые пары переменных состояния машины.

(54)

Шаг четвертый. На этом этапе уравнения (49), (53) и (54) приводят к безразмерным (относительным) величинам. В качестве основных базовых величин набираются амплитудные номинальные значения фазного напряжения и тока, а также номинальные значения угловой частоты:

, , , (55)

На этой основе определяются базовые значения всех переменных и коэффициентов, входящих в уравнение, а также базового времени:

, , , , . (55*)

В дальнейшем используются только в относительных величинах. Обобщенная система уравнений для описания асинхронной машины принимает вид:

 

(56)

 

 

В этих уравнениях все переменные относительные, полученные как результат деления реальных значений на базовые, все коэффициенты также безразмерные, полученные аналогично. Переменные и параметры в относительных единицах:

 

, , - относительные электромагнитные переменные состояния;

, - относительная частота статора и относительная скорость ротора;

- относительный момент на валу машины;

, , , , , - относительные параметры.

В уравнениях (55) время принято безразмерные , то есть единицей измерения времени является не секунда, а . Следует заметить, что введение относительных величин сокращает время моделирования и позволяет устранить многие проблемы моделирования. Рассмотрим предварительно вопросы преобразования координат, а затем модели асинхронной машины в различных системах координат и их основные характеристики.