Представление 2-х массовой системы в переменных состояниях.

На ряду с представленной моделью в переменных «входы-выходы» в которой используются передаточной функции отдельных звеньев и построенные из них структурные схемы, в настоящее время их используют для моделирования сложных систем, так называемый метод «пространство-состояний».

В математическом описании метода, присутствуют не только входные воздействия и выходные переменные, а также внутренние промежуточные переменные, число которых равно числу дифференциальных уравнений входящих в систему и которые называются переменными состояниями. Все эти переменные образуют следующую структуру:

входные

выходные

переменные состояния

 

 

Рис.8.

 

В общем виде решения задачи для существующих сколь угодно сложной системы в переменной состоянии сводиться к системе 2-х уравнений:

 

При этом структурная схема имеет следующий вид:

 

 

Рис.9.

- вектор состояния системы.

- число уравнений.

- соответственно для каждого из уравнений переменная выраженная в каждом из уравнений в качестве входных

 

- вектор входных переменных

- число входных переменных

-вектор выходных переменных

- число выходных переменных

- матрица промежуточных переменных или параметрическая матрица которая представляет из себя матрицу коэффициентов при переменных состояния.

- строки - уравнения

- столбца - - переменной состояния

- входная матрица системы представляет из себя матрицу коэффициентов перед входными переменными.

 

 

- строки - уравнения

- столбца - - переменной

- выходная матрица системы – параметрическая матрица.

- строки - выходной переменной

- столбца - - уравнения

 

- проходная матрица

матрица коэффициентом перед членами уравнений связи между входными и выходными величинами.

Для 2-х массовой механической системы этот метод будет иметь следующее решение:

Уравнение относительно производных:

(7)

(8)

(9)

 

 

 

 

(10)

 

 

 

Рис.10.

 

 

Представить динамические модели в переменных состояниях для постановки задачи

 

Одномассовая механическая модель силового канала ЭП.

Если считать, что жесткость механической связи между 2-мя вращающимися массами равна бесконечности, то можно считать 2-х массовую механическую модель адекватной 1-о массовой.

Тогда :

 

Рис.11.

 

Тогда система уравнений описывающая 2-х массовую механическую модель сведётся к одному уравнению:

(11)

В этом уравнении левая часть может быть графически представлена в виде 2-х функций и , при этом если строго следовать физическому смыслу этих функций, то - (статически-механическая характеристика ЭМП) будет располагаться в 1-м квадранте координатной плоскости, а функция , которая называется статическая-механическая характеристика механизма будет располагаться во 2-м квадранте.

В этом случае нахождение точки статического равновесия, а именно равенства окажется невозможным. Поэтому обе характеристики для удобства анализа располагает в одном квадранте, чаще во 2-м. Тогда уравнение (11) будет иметь вид арифметического уравнения.

При анализе механической части с помощью этого уравнения возникает проблема связанная с недостатком каталожных данных о суммарном моменте инерции вращающихся частей , поэтому зачастую используют уравнение (11) записываемые в так называемых инженерных координатах.

 

Рис.12.

 

В этом уравнении:

момент инерции выражается через произведение массы на квадрант приведенного радиуса инерции, которое достаточно легко определиться при наличии данных о габаритах и массе вращающихся частей, тогда уравнение примет вид:

(12)

Если представить: , где - приведенный диаметр инерции, а массу представить через силой тяжести и ускорение свободного падения , то уравнение примет вид:

(13)

Уравнения записываемые в виде являются математическим описанием 1-о массовой механической моделью и называе6тся соответственно:

(11) – уравнение движения в классических координатах (классическое, основное).

(13) – уравнение движения в инженерных координатах.

В уравнении (13) принято называть маховый момент.

 

Одномассовая механическая модель как объект управления (аналоговый вариант).