Методика вивчення алгебраїчних i трансцендентних функцiй у курсi математики ЗНЗ.

Поняття функціональної залежності є одним з центральних в математиці, Вивчення поведінки функцій і побудова їх графіків є важливим розділом шкільного курсу. Починаючи з 7 класу середньої школи йде поступове вивчення властивостей функцій та функціональних залежностей. Розглядаються різні класи функцій: починаючи з найпростіших лінійних функцій і їх графіків, потім квадратичні функції, функції оберненої пропорційності і дробово-лінійні функції, які відносимо до алгебраїчних У старших класах учні вивчають трансцендентні функції.

Трансцендентні функції – це клас показникових, тригонометричних, логарифмічних, обернених тригонометричних та інших функцій, які не являються алгебраїчними. В 10 класі вводяться тригонометричні функції, і в 11 класі нарешті, показникові і логарифмічні функції. Всі ці функції розглядаються тільки як функції однієї змінної, причому самі змінні не виходять за рамки безлічі дійсних чисел. У результаті вивчення курсу математики учні повинні:
– розуміти, що функція – це математична модель, що дозволяє описувати й вивчати різноманітні залежності між реальними величинами, що конкретні типи функцій (пряма і обернена пропорційності, лінійна, квадратична функції) описують велику різноманітність реальних залежностей;
– правильно вживати функціональну термінологію (значення функції, аргумент, графік функції, область визначення, зростання та ін)– знаходити значення функції, заданих формулою, таблицею, графіком;;
– знаходити за графіком функції проміжки зростання та спадання функції, проміжки знакосталості, найбільше і найменше значенн
– будувати графіки лінійної функції, прямої і оберненої пропорційності, квадратичної функції;.
Лінійна функція.
Лінійної функцією називається функція, яку можна задати формулою виду y = kx +в, де х - незалежна змінна, k і b - деякі числа. Таке визначення дано в підручниках, і тільки після цього в наступному параграфі дається визначення прямої пропорційності. Звертається увага на те, що пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції, так як формула у = k х виходить з формули y = kx + b при b = 0 і для того, щоб побудувати графік прямої пропорційності досить відзначити будь-яку точку графіка, відмінну від початку координат, і провести через цю точку і початок координат пряму. Цілий параграф в даному підручнику відводиться на вивчення взаємного розташування графіків лінійних функцій. Графіки двох лінійних функцій, заданих формулами виду y = kx + b, перетинаються, якщо коефіцієнти при х різні, і паралельні, якщо коефіцієнти при х однакові.
2. Квадратична функція.
Вивчення квадратичної функції проводиться у двох концентрах. У 8-му класі розглядається її окремий вид — функція у=х², а у 9-му класі — функція у=ах²+bх+с, її властивості та графік. Досвід, набутий учнями під час вивчення функції y=х², створює основу для кращого усвідомлення властивостей функції загального виду, а також дає можливість

ознайомити учнів 8-го класу з влас­тивостями і графіком функції у= . Вивчення елемен­тарних функцій в основній школі здійснюється переваж­но на конкретно-індуктивному рівні, без строгих доведень. Базою для встановлення властивостей функції виступає графік, а простіші перетворення графіків дають змогу порівнювати властивості різних видозмін функцій. Отже, необхідно приділити достатню увагу початковому озна­йомленню з функцією у=х² ісформувати в учнів чіткі уявлення про її графік і властивості. Але треба забезпечити логічний перехід від розгляду квадратного тричлена до квадратичної функції у за­гальному вигляді. З цією метою виклад матеріалу по­чинаємо з означення: квадратичною функцією називають функцію, яку можна задати формулою виду у=ах²+bх+с, де х — незалежна змінна, a, b і с — деякі числа, причому а 0. Якщо b = 0, дістаємо функцію виду у=ах²+с; якщо с=0, матимемо у = ах²+bх; якщо b=0, с=0, то у = ах². Якщо у функції у=ах² коефіцієнт а= 1, матимемо уже відому нам функцію у=х². Залежність у = х² є квадратич­ною функцією найпростішого виду. Далі розглядаємо функцію у = ах² та її графік.

Функція у= та її графік У підручнику функція у= розглядається у зв'язку з вивченням квадратних коренів.Поступово учні засвоюють властивості функції у = для k>0 і k <0 у

Степенева функція Вивченню степеневої функції передує розгляд парних і непарних функцій. Ці поняття дають змогу зразу система­тизувати степеневі функції за ознакою парності чи непарності, допомагають учням усвідомити спільне й відмінне у розміщенні на координатній площині графіків степеневих функцій з парним і відповідно непарним показниками.В основній школі розглядається степенева функція ли­ше з натуральним показником. Головна мета вивчення її — узагальнити вивчені відомості про функції та їх гра­фіки, розглянути деякі нові властивості функцій. Зважаючи на те, що учні вже мають достатній досвід оперу­вання поняттям функції і відповідною термінологією, тре­ба почати безпосередньо з означення.Властивості степеневої функції доцільно систематизу­вати в таблиці, де обов'язково вміщені графіки видозмін цієї функції. Введення поняття тригонометричних функцій числового аргументу.

Насамперед потрібно згадати означення тригонометричних функ­цій кута і поширити їх на будь-яку градусну міру, ввести кут поворо­ту. Крім того, слід переконати учнів, що існує відповідність між мно­жиною дійсних чисел і множиною точок одиничного кола, для чого попередньо виконати таку вправу. Основна мета - вивчити властивості тригонометричних функцій, навчити учнів будувати їх графіки. Першою тригонометричної функцією, з якою ознайомлюються учні, стає функція y = cosx, Вивчення даних функцій починається з повторення визначення синуса, косинуса і тангенса довільного кута які були введені в 9 класі. Так як функція y = cosx періодична з періодом 2p, то досить побудувати її графік на якому-небудь проміжку довжиною 2p. Крім того досить побудувати її графік на відрізку 0 £ х £ p, а потім симетрично відобразити щодо осі Оу. Перш ніж перейти до побудови графіка, доводиться, що функція y = cosx убуває на відрізку 0 £ х £ p. Доведене тут властивість дозволяє зробити висновок про можливість побудови графіка функції на цьому відрізку і поширенні його на всю числову пряму.
Після побудови формулюються основні властивості функції y = cosx.

Для побудови функції y = sinx використовують формулу: . Ця формула показує, що графік

функції y = sinx можна отримати зрушенням графіка функції y = cosx вздовж осі абсцис вправо на
Побудова графіка функції тангенс, як і косинус, починається з дослідження. Спочатку графік будується на проміжку , А потім поширюється на всю числову пряму. Для цього доводиться, що функція y = tgx зростає на

проміжку . Доведене тут властивість дозволяє зробити висновок про можливість побудови графіка функції на всю числову пряму.
Після чого формулюються властивості функції y = tgx.
За графіком демонструються властивості даної функції: її область визначення, область значення, найбільше і найменше значення, нулі функції, проміжки постійних знаків функції. Аналогічно розглядаються властивості функції y = cosx і y = tgx і на графіках цих функцій демонструються їх властивості.
У шкільному курсі математики існують різні методичні підходи до введення арк­косинуса, арксинуса, арктангенса.

2.5. Показникова функція.
У 10 класі в підручнику розглядається показникова функція. Перше з чим знайомляться учні на уроках математики - це властивості функції та її графіком. На її вивчення відводиться один параграф, який починається з повторення властивостей степенів. Після чого вводиться визначення показникоової функції, далі розглядаються основні властивості Властивості монотонності обгрунтовуються аналітично і ілюструються на графіку. Надалі основну увагу приділяється ілюстрації властивостей функції за графіком § 2.6. Логарифмічна функція. У підручнику з логарифмічною функцією учні вперше стикаються в 10 класі. Основна мета - познайомити учнів з логарифмічною функцією, її властивостями і графіком. До введення поняття логарифмічної функції формується поняття логарифма числа, вивчаються властивості логарифмів. Після чого формулюються властивості даної. Основні властивості логарифмічної функції випливають з властивостей показовою функції і теореми про зворотній функції. При формулюванні властивостей розглядається два випадки, коли основа більше 1 і коли основа більше нуля, але менше одиниці. Крім тих властивостей, які перераховані в підручниках Алімова і Мордкович тут розглядаються властивості опуклості, безперервності, обмеженості, парності, найбільшого або найменшого занчение.

4. Розв’язати рівняння в повних диференцiалах:

 

 

 

 

 

1. Функції багатьох змінних, неперервність та диференційованість функції багатьох змінних. Теорема про рівність мішаних похідних.

Розглянемо функцію , , яка кожній точці М множини G (площини або простору) ставить у відповідність деяке число . Якщо G – множина точок координатної площини, то замість пишуть , де х,у – координати точки , і кажуть, що задано функцію двох змінних , .

Оз. функцією двох змінних , , називається функція, яка кожній парі чисел ставить у відповідність деяке число . Наприклад, , , функція двох змінних х і у, визначена для будь-яких значень змінних х, у, тобто на всій координатній площині R². Вона кожній точці ставить у відповідність число

Оз.. Функція , , називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності точок такої, що , при , послідовність .

Функція називається неперервною на множині G, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Для функції багатьох змінних, як і для функції однієї змінної, доводять такі твердження:

Т. сума і добуток двох неперервних на множині G функцій є неперервними на G функціями;

Т відношення двох неперервних на G функцій є неперервною функцією в усіх точках множини G, в яких знаменник не перетворюється в нуль.

Оз. Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, може, самої точки . Число А називається границею функції при , , якщо для будь-якої послідовності точок , таких що , при і ≠ , послідовність , , збігається до числа А. У цьому разі пишуть

або при , . Очевидно, якщо при , , то де при , .Оскільки границя функції багатьох змінних зводиться до границі числової послідовності, то для функцій багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, різниці, добутку і частки двох функцій, аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній x приросту , залишаючи змінну незмінною, так, щоб точка належала заданому околу.Величина - називається частинним приростом функції за змінною x.Аналогічно вводиться частинний приріст функції за змінною :

.Якщо існує границя ,

то вона називається частинною похідною функції в точці за змінною x і позначається одним із таких символів: Аналогічно частинна похідна функції за визначається як границя

позначається: .

Згідно з означ. при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної x, вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна x.

Для функції n змінних можна знайти n частинних похідних:

, де

, .

Якщо існує частинна похідна за x від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції за змінною x і позначають або .

Таким чином, за означенням

або .

Якщо існує частинна похідна від функції за змінною , то цю похідну називають мішаною частинною похідною другого порядку від функції і позначають , або .

Отже, за означенням

або .

Для функції двох змінних можна розглядати чотири похідні другого порядку:

.

Означ. Частинні похідні другого і вище порядків функції взяті по різними змінними, називають мішаними частинними похідними.

Теорема (про мішані похідні).Якщо функція визначена разом із своїми похідними в деякому околі точки , причому похідні та неперервні в точці , то в цій точці

Теорема 2 (існування частинних похідних диференційовної функції). Якщо функція диференційовна в точці , то вона має в цій точці похідні та

Теорема 3 (достатні умови диференційовності). Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки і ці похідні неперервні в точці М, то функція диференційовна в точці М.

2. Методика розв’язування геометричних задач на побудову з допомогою циркуля і лінійки.

Під задачею на побудову розуміють вимогу: побудувати за допомогою інструментів геометричну фігуру, яка б задовольняла певні задані умови.

Розв’язати задачу на побудову означає звести її до скінченого числа елементарних побудов, які виконуються за допомогою циркуля і лінійки, на основі аксіом конструктивної геометрії.

Основними неозначуваними поняттями в геометрії вважають точки, прямі і площини, а також основні співвідношення між ними – належати, лежати між і бути рівними. Усяке інше поняття в геометрії зводиться до основних за допомогою означень. Схема розв’язування задач на побудову складається з чотирьох етапів:

АНАЛІЗ – це відшукання способу розв’язування задачі на основі закону про єдність аналізу та синтезу, це план розв’язування задачі (усвідомлення умови задачі, зв’язків між даними і шуканими величинами).

ПОБУДОВА – відповідно до плану, складеного під час аналізу, за допомогою вказаних інструментів виконуємо побудову шуканої фігури за елементами, даними в умові задачі.

ДОВЕДЕННЯ – це усвідомлення і перевірка правильності розв’язку задачі.

ДОСЛІДЖЕННЯ – це етап, на якому визначаємо, для яких саме даних задача має розв’язки, і якщо має, то скільки їх, чи все зроблено добре, що можна зробити інакше,як діяти за інших умов.

У будь-якій задачі на побудову потрібно за якими-небудь даними фігурам побудувати шукану фігуру, що задовольняє ті або інші умови. При цьому вказується (тобто формулюється явно або мається на увазі), за допомогою яких креслярських інструментів слід виконати побудова шуканої фігури.

У шкільному курсі геометрії звичайно розглядаються задачі на побудову за допомогою циркуля й лінійки.

Передбачається, що лінійка як інструмент геометричних побудов не має масштабних ділень і з її допомогою можна провести пряму, що проходить через дві дані або побудовані точки. Ніяких інших операцій виконати лінійкою не можна. За допомогою циркуля як інструмента геометричних побудов можна описати кло із центром у даній або побудованій точці й радіусом, рівним даному або побудованому відрізку.

Сформуємо у загальному виді постановку задачі на побудову. Дана кінцева множина основних побудованих фігур , ,..., і описана властивість, що характеризує шукану непобудовану основну фігуру Ф. Потрібно, використовуючи аксіоми геометрії, одержати кінцеву множину основних побудованих фігур, що містить фігуру Ф.

При розв'язуванні задач на побудову часто доводиться "довільно вибирати" довільні точки, що як належать, так і не належать побудованим прямим, окружностям, а також відрізкам і променям. Можливість вибору довільних побудованих точок, що належать побудованим прямим або окружностям, не скінченне. Можливість вибору точок, що не належать побудованим прямим і окружностям, можна обґрунтувати за допомогою аксіом геометрії.

Аналіз або пошук розв'язку задачі полягає у встановленні залежностей між даними фігурами й шуканою фігурою з метою знаходження способу розв'язування задачі.

Для проведення аналізу задачу важаємо розвязаною й виконують "від руки" креслення, що зображує шукану й дані фігури. Потім вивчають шукану фігуру і її зв'язку з даними задачі, поки не стане ясна послідовність побудов, що веде до розв'язку. У ряді випадків доцільно виділити точку, пряму або відрізок (так званий основний елемент побудови), побудова якого приводить до побудови шуканої фігури.

Побудова полягає в послідовнім перерахуванні тих побудов (найпростіших і основних), які треба виконати для розв'язування задачі. При цьому виконується креслення, тобто фактично здійснюється крок за кроком побудова шуканої фігури за допомогою циркуля й лінійки.

Доведення полягає в тому, щоб установити, що побудована фігура дійсно задовольняє всім умовам, поставленим у Дослідження полягає в тому, щоб відповісти на запитання: 1)Чи при всякому виборі даних задача має розв'язок, тобто шукану фігуру можна побудувати циркулем і лінійкою? 2) Скільки різних розв'язків має задача при кожному можливому виборі даних?

Задача. Побудувати трикутник сторони якого відповідно дорівнюють даним відрізкам а, b і с.

Розв'язок. Проведемо яку-небудь пряму й відкладемо відрізок АВ, дорівнює відрізку с. Далі побудуємо два кола (А, b) і (В, а). Нехай С - одна із точок перетинання цих окружностей. З'єднавши точки А, С і В, з відрізками, одержимо шуканий трикутник АВС. Виникає питання:чи при будь-яких заданих відрізках а, b і і с задача має розв'язок? Доведемо, що якщо c а й c b, то трикутник АВС, що задовольняє умовам:АВ =с, ВС= а, СА = b, можна побудувати тоді й тільки тоді, коли с < а+b(1). Насправді, якщо трикутник АВС, що задовольняє умовам задачі, побудований, то по нерівності трикутника АВ < АС + ВР. Звідси випливає, що виконується рівність(1). Обернено, нехай для відрізків а, b і с виконуються нерівності:с а, с b и с < а + b(2).

Доведемо, що трикутник АВС, що задовольняє умовам задачі, можна побудувати. За побудовою АВ = с, тому АВ < а + b. Але, з іншого боку, якщо, наприклад, a b, те з нeрівностей с а, с b випливає, що с > а – b і АВ > a – b. Таким чином, окружності (А, b) і (В, а) перетинаються у двох точках С и C΄. Легко бачити, що точки А, В и С не лежать на одній прямій. Таким чином, відрізки АВ і ВС і СА утворюють трикутник.

Ясно, що можна побудувати нескінченна множина трикутників, сторони яких відповідно дорівнюють даним відрізкам. Але будь-які два з них рівні по трьом сторонам, тому ми вважаємо, що якщо дана задача на побудову має розв'язок, то вона має тільки один розв'язок.