Знайти нормальний вигляд квадратичної форми

Центральна гранична теорема Ляпунова

Центральна гранична теорема — теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей.

Центральна гранична теорема теорії ймовірності (теорема Ляпунова) встановлює умови, за яких вказаний граничний закон є нормальним

Теорема. Нехай — послідовність попарно незалежних випадкових величин з математичними сподіваннями , дисперсіями . Ці величини мають такі дві властивості:

1. Існує таке L, що для будь-якого i має місце нерівність , тобто всі значення випадкових величин, як то кажуть, рівномірно обмежені щодо їх математичних сподівань.

2. Сума необмежено зростає при .

Тоді при досить великому n сума має розподіл, близький до нормального (без доведення).

Нехай a і — математичне сподівання і дисперсія випадкової величини

.Тоді

;

;

.

З теореми Ляпунова випадкова величина для великих значень n має розподіл, близький до нормального, тобто має місце формула

(5.1)

 

.

Ця теорема дає одну з можливих відповідей на питання, чому нормально розподілені випадкові величини часто зустрічаються на практиці.

Отже, суть центральної граничної теореми полягає в тому, що розподіл випадкової величини, яка формується як результат дії багатьох незалежних випадкових факторів, кожний з яких має на неї незначний вплив, мало відрізняється від нормального закону. Оскільки ці умови на практиці досить часто виконуються, то нормальний закон розподілу є найпоширенішим із законів розподілу, які зустрічаються у випадкових явищах. Розглянемо лише деякі приклади застосування центральної граничної теореми.

Зокрема, в більшості випадків похибки, які виникають під час вимірювання фізичних величин, розподілені саме за нормальним законом, оскільки виникають як результат багатьох незалежних елементарних помилок, породжених різними причинами: станом приладу, атмосферними умовами, фізичним і психічним станом дослідника.

 

 

Методи навчання математики в ЗНЗ

 

Під методом навчання в дидактиці розуміють способи навчальної роботи вчителя і організації навчально-пізнавальної діяльності учнів з розв'язування різних дидактичних задач, спрямованих на оволодіння матеріалом, що вивчається.

Крім терміна «метод навчання» в дидактиці є термін «прийом навчання», під яким найчастіше розуміють складову частину або окремий бік методу.

У педагогіці існує різна класифікація методів навчання залежно від вибору основи класифікації, а саме:

1) за джерелом здобування знань (словесні, наочні, практичні),

2) за способами організації навчальної діяльності учнів (методи здобування нових знань, ме­тоди формування умінь та навичок і застосування знань на практиці, методи перевірки и оцінювання знань, умінь та навичок),

3)за характером навчально-пізнавальної діяльності учнів:

а) пояснювально-ілюстративний (розповідь, лекція, пояснення, робота з підручником, демонстрації та інші.);

б) репродуктивний (відтворення знань і способів дій, діяльність за алгоритмом, програмою);

в) проблемний виклад;

г) частково-пошуковий або евристична бесіда;

д) дослідницький метод.

Останні три методи використовують під час проблемного навчання як дидактичної системи.

Пояснювально-ілюстративний Цим методом послуговуються, вводячи математичні поняття, вивчаючи аксіоми, теореми способи розв'язування різних класів задач.

Репродуктивний

Використовують при поясненні нового матеріалу, перевірки домашнього завдання (учні відтворюють розв'язання задач, формулювання і доведення теорем, означення математичних по­нять, правила тощо). На уроках, де формуються уміння і навички розв'язування прикладів, задач, застосування репродуктивного методу виявляється в діяльності учнів під час розв'язування вправ і задач за зразком, який дано вчителем або наведено в підручнику, в діяльності за певним алгоритмом.

Проблемний виклад як метод навчання математики - полягає в тому, що, пояснюючи навчальний матеріал, учитель сам висуває проблеми і, звичайно, як правило, сам їх розв'язує. Однак постановка проблем посилює увагу учнів, активізує процес сприймання і усвідомлення того, що пояснює вчитель.

Частково-пошуковий метод (його інколи називають евристичною бесідою) полягає в тому що вчитель заздалегідь готує систему питань, відповідаючи на які учні самостійно формулюють означення поняття, «відкривають» доведення тео­реми, знаходять спосіб розв'язування задачі.

Дослідницький метод передбачає самостійний пошук розв'язання пізнавальної задачі. Причому може виявитись потреба, щоб проб­лему сформулював сам учень або и формулює вчитель, але розв'язують учні самостійно.

Суть абстрактно-дедуктивного методу навчання полягає в то­му, що під час вивчення нового матеріалу вчитель відразу сам повідомляє означення понять, що вводиться, а потім наводить конкретні приклади об’єктів, що належать до понять. Формулюється и доводиться теорема, і лише після цього розглядаються конкретні приклади застосування нового теоретичного матеріалу.

Конкретно-індуктивний метод навчання протилежний абстракт­но-дедуктивному методу. Під час навчання цим методом пояс­нення нового матеріалу починається з розгляду прикладів. Використовуючи приклади, учні мають можливість виділити суттєві ознаки поняття, що вводиться. Це допомагає самостійно чи з допомогою вчителя сформулювати означення поняття. Рисунок до теореми дасть змогу учням виявити властивості зображеної фігури і самостійно чи з допомогою вчителя сформулювати теорему.

Програмоване навчання виникло з потреб вдосконалення традиційного навчання і створення кращих умов для реалізації дидактичних принципів навчання.

Термін «програмоване навчання» походить від термінів програмування для ЕОМ і здійснюється за навчальними програмами.

 

 

Знайти границю функції