Навчальне обладнання з математики i методика його використання.

Реалізація принципу наочності під час вивчення математики - не­обхідна умова, що забезпечує ефективність навчання й умови для за­побігання формалізму. Наочність сприяє утворенню ясних і точних образів сприймання і уявлення, полегшує учням перехід від сприймання конкретних пред­метів до сприймання абстрактних понять про них за допомогою виявлення і словесного закріплення спільних істотних властивостей по­нять.

Позитивний вплив наоч­ності визначається низкою умов, зокрема правильним поєднанням слова вчителя і наочності, врахуванням вікових та індивідуальних особливостей учнів, спеціальним навчанням учнів умінню бачити на­очний матеріал. Потрібно зосередити увагу учнів на тому, що саме в певному наочному матеріалі слід виокремити, порівняти, подумки пе­ретворити. Водночас із позитивним впливом наочність може відіграти і не­гативну роль. Наприклад, надуживання моделями стереометричних фігур на перших уроках стереометрії може загальмувати розвиток просторових уявлень і уяви, постійне використання готового рисунка, який, наприклад, проектується на екран в процесі розв'язування гео­метричних задач, призводить до того, що в учнів слабко формується уміння виконувати зображення просторових фігур на площині.

За одноманітного використання рисунків планіметричних фігур, на­приклад прямокутних трикутників, прямих кутів у стандартному положенні (прямий кут розміщений унизу, а зовнішній кут трикут­ника зображується лише для гострокутних трикутників), гальму­ється виявлення і узагальнення істотних властивостей фігур.

Увага учнів при цьому фіксується на випадкових, неістотних властивостях, відбувається їх генералізація (піднесення до ролі істотних). При цьому учні не розрізняють прямий кут, прямокутний трикутник, якщо він зображений у нестандартному, незвичайному для учнів по­ложенні.

Для уникнення цих негативних явищ важливо правильно поєдну­вати слова вчителя з демонстрацією наочного матеріалу. Вчитель має спрямовувати процес спостереження учня, варіювати положення фігур у наочному матеріалі, виокремлювати в ньому як істотні властивості, так і неістотні.

Особливо велике значення має наочність у курсі математики 1 - 6 класів. Створення у школярів цих класів правильних геометричних образів на основі конкретних геометричних фігур і предметів довкіл­ля є першочерговим завданням вивчення геометричного матеріалу в цих класах.

Надзвичайно важливою є роль графічних зображень під час ви­вчення функцій в основній школі та в курсі алгебри і початків аналі­зу, уміння зображувати просторові фігури на площині під час ви­вчення стереометрії. Докладніше про це йдеться у відповідних розді­лах методики вивчення окремих предметів.

Значну допомогу учням у вивченні алгебри і геометрії надають спеціальні прилади, які моделюють математичні поняття, задачі, гра­фічні зображення. До них належать: магнітна дошка з координатною сіткою, переносна магнітна дошка, комплект кривих для магнітної дошки, магнітні прилади «Вимірювання площ», «Частини цілого і дроби» тощо.

З успіхом використовують у школі гумові штемпелі (штампи) із зображеннями різних плоских і просторових фігур, графіків тощо. Вони допомагають заощадити навчальний час на етапі розв'язування задач, коли учні вже навчилися виконувати потрібні зображення.

У процесі формування навичок виконання дій з додатними і від'ємними числами деякі вчителі використовують виготовлену в шкіль­них майстернях модель координатної прямої. На відшліфовану де­монстраційну лінійку (дошка 150 х 15 см) наносять координатну пряму з просвердленими отворами для фіксування точок, що від­повідають додатним і від'ємним числам.

Аналогічні моделі координатної прямої можна виготовити зі зви­чайних пластмасових або дерев'яних лінійок. Спочатку учні викону­ють дії на моделі і, помітивши закономірності в отриманні результа­тів, під керівництвом учителя колективно формулюють відповідні правила.

Поширеним засобом наочності є математичні таблиці. Здебільшого їх виготовляють у школі учні й вчителі.

Використання наочності на уроці повинно бути цілеспрямованим і методично виправданим. А це вимагає серйозного підходу до їх адекватного вибору. Отже, доцільно виділити такі вимоги до використання наочності у навчальному процесі початкової школи:

1) відповідність наочності змісту виучуваного матеріалу;

2) виділення найважливіших ознак предмета;

3) естетичне оформлення наочності;

4) вчасне використання наочності;

5) помірне використання наочності;

6)відповідність наочності психологічним закономірностям сприймання;

7) інтерес учнів до розглядуваних наочних об’єктів;

8) зв’язок змісту наочного посібника з досвідом учнів.

 

3. Знайти на кривiй y = x 3 точку M(a; b), дотична в якiй до даної кривої паралельна хордi, що з’єднує точки A(−1

 

4. Обчислити сигнатуру квадратичної форми f =

 

 

1. Метод Фурє Нехай необхідно знайти розв’язок диференціального рівняння , (1) який задовольняє рівняння

(2) і крайові умови

(3) В силу умов узгодженості

(4)

Алгоритм методу.

1. Представляємо розв’язок у вигляді і розв’язуємо задачу Штурма-Ліувілля

2. Знаходимо власні значення і власні функції задачі Штурма-Ліувілля

3. Для кожноговласного значення знаходимо загальний розвязок

4.Складаємо ряд =

5. Невідомі коефіцієнти і , знаходимо, використовуючи початкові умови, отримаємо

Розглянемо докладно алгоритм.

Шукаємо нетривіальні розв’язки рівняння (1), які задовольняють крайові умови (3), у вигляді

(5)

Підставивши (5) у рівняння (1) і розділивши змінні, одержимо

остання рівність можлива тоді і тільки тоді, коли звідки

º 0, (6)

º 0.(7)

Підставивши (5) у крайові умови (3), одержимо

Оскільки то із останніх рівностей маємо (8)

Таким чином, нам потрібно знайти ненульові розв’язки рівняння (6) і крайової задачі (7), (8). Задача (7), (.8) не для всяких має нетривіальні розв’язки.

Означення. Ті значення параметра , при яких задача (7), (8) має нетривіальні розв’язки, називаються власними значеннями, а відповідні ненульові розв’язки цієї задачі – власними функціями.

Задача (7), (8) знаходження власних значень і власних функцій називається задачею Штурма-Ліувілля.

Знайдемо власні значення та власні функції. Для цього розглянемо окремо випадки, коли - додатні, рівні нулю і від’ємні:

а) нехай Тоді загальний розв’язок рівняння (7) має вигляд

Підставивши знайдений розв’язок у крайові умови (8), одержимо

Визначник системи

при відмінний від нуля, тому система має тільки нульовий розв’язок ,тобто . Таким чином, не є власним значенням;б) при загальний розв’язок рівняння (7) рівний .

Підставивши його в крайові умови (8), матимемо , . Отже, і, ; не є власним значеням

в) нехай . Тоді загальний розв’язок рівняння (7) має вигляд

Згідно з крайовими умовами одержимо

Задача (7), (8) буде мати нетривіальні розв’язки тільки тоді, коли , а тобто коли

,

Знайденим власним значенням відповідають власні функції які визначаються з точністю до сталого множника. В зв’язку з цим надалі будемо вважати, що .

Підставивши знайдені власні значення у рівняння (6) і проінтегрувавши його, одержимо

Згідно з (5) функції

де , ,задовольняють рівняння (1) і крайові умови (3.3) при довільних і .

Розглянемо ряд

(3.9) Для побудови розв’язку мішаної задачі (1)-.3) залишилось у ряді (9) так вибрати коефіцієнти і , щоб він задовольняв і початкові умови (.2). З цією метою підставимо ряд (9) у початкові умови (2). Одержимо

(12)

Нехай функції і є кусково-диференційовними на проміжку . Тоді їх можна розкласти в ряди Фур’є

(13) де

Порівнюючи ряди (12), (13), одержуємо

Підставивши знайдені коефіцієнти у (9), одержимо розв’язок задачі (1) - (.3):

(14)