Подобие процессов теплоотдачи: условия подобия; математическое описание процессов теплоотдачи; критерии подобия; критериальные уравнения; основные теоремы подобия.

    Условия подобия

Геометрическое подобие (рис.14.3) – отношение сходственных размеров постоянно:

, где  - константа подобного преобразования.

Физическое подобие – однородные параметры процессов в сходственных Рис. 14.3                  точках пространства и в сходственные моменты времени должны быть связаны между собой постоянными коэффициентами – константами подобного преобразования.

Сходственные точки пространства (см. рис. 14.3)          .

Сходственные моменты времени (см. рис.14.4)             ,

где  и  - характерное время изменения параметра П в процессах а и б;  и  - время измерения параметра П в процессах а и б.

Суть теории подобия заключается в следующем. Из Рис. 14.4                    размерных физических параметров, характеризующих исследуемый процесс, образуются безразмерные комплексы – критерии подобия. Число критериев подобия в соответствии с так называемой p - теоремой должно быть равно разности числа физических параметров и числа первичных размерностей (кг, м, с, К и др.), входящих в эти параметры.

По результатам эксперимента в определенных условиях при изменении какого-либо из физических параметров вычисляются численные значения безразмерных комплексов и находится зависимость определяемого критерия подобия, в который входит искомая физическая величина (в данном случае коэффициент теплоотдачи a), от других (определяющих) критериев подобия. Эта зависимость называется критериальным уравнением. Устанавливаются также пределы изменения определяющих критериев подобия, при которых справедливо полученное уравнение. Используя это уравнение, можно вычислить a без постановки эксперимента во множестве других, но подобных процессах, отличающихся численными значениями физических параметров.

Критерии подобия образуются из уравнений, описывающих процессы теплоотдачи, и условий однозначности.

Математическое описание процессов теплоотдачи

Уравнение связи коэффициента теплоотдачи и градиента температуры в пограничном слое

.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в движущейся среде

производная.

где - субстанциональная

Уравнение движения среды (уравнение Навье-Стокса для капельной жидкости)

по оси x:

по оси y:

по оси z:

Дифференциальное уравнение неразрывности (сплошности)

.

Для конкретизации решения задают условия однозначности: геометрические, физические, начальные (w_вх, , t_Wo), граничные.

Решение системы этих уравнений практически невозможно, поэтому они применяются вместе с условиями однозначности для образования критериев подобия.

Критерии подобия

Пример образования критерия подобия (критерия Нуссельта)

В процессе а:     в процессе б: .

Для физического подобия необходимо, чтобы все однородные величины были связаны между собой константами подобного преобразования:

; ;  откуда

; ; ; ; .

Тогда для процесса б

Если комплекс  то уравнение процесса б совпадает с уравнением процесса а.

При             

Безразмерный комплекс  - критерий подобия Нуссельта (определяемый критерий, так как в него входит определяемая величина ).

Характерным линейным размером вместо n может быть любой другой линейный размер, например длина , диаметр трубы d, или для канала некруглого сечения эквивалентный диаметр  где А - площадь сечения канала, П – периметр.

Тогда ;

Nu характеризует соотношение между теплообменом конвекцией и теплопроводностью.

Аналогичным образом из других уравнений и условий однозначности образуют другие критерии подобия.

К определяемому критерию подобия относится также критерий Эйлера , из которого определяют падение давления . Критерий Eu характеризует соотношение сил давления и сил инерции.

Определяющие критерии подобия.

Критерий Рейнольдса Re - определяет режим движения среды при вынужденной конвекции и характеризует соотношение между силами инерции и вязкости, .

Критерий Грасгофа Gr - определяет интенсивность движения среды при естественной конвекции и характеризует соотношение между подъемной силой, возникающей вследствие разности плотности среды, и силой вязкости в неизотермическом потоке, ,

где  - коэффициент температурного расширения (для газа  = 1/T),

   - ускорение свободного падения,

- разность температур тела и среды,

 – характерный линейный размер.

Критерий Прандтля   Pr - характеризует теплофизические свойства среды и соотношение толщин динамического и теплового пограничных слоев, .

При нестационарных процессах:

Критерий Фурье Fo - характеризует связь теплофизических свойств и размеров тела со скоростью изменения в нем полей температуры, .

Критерий Био Bi - характеризует соотношение между температурными условиями в окружающей среде и распределением температуры в теле, .

Критериальные уравнения

Критериальное уравнение – зависимость определяемого критерия подобия от определяющих критериев.

При установившемся режиме в условиях совместного проявления вынужденной и свободной конвекции    (Re, Gr, Pr);

при вынужденной конвекции                    (Re, Pr);

при свободной конвекции                (Gr, Pr).

Уравнения представляются в виде степенных зависимостей:

;          .

Постоянные с, m, n определяются по результатам эксперимента в определенных условиях и справедливы при других условиях в соответствующем диапазоне определяющих критериев подобия, что указывается для каждого уравнения.

При жидкой среде в критериальные уравнения вводится также отношение , в котором  определяется по температуре среды, а  - по температуре твердого тела. Это отношение учитывает отличие тепловых потоков от среды к телу и от тела к среде при одинаковой разности температур t_f и t_w.

Число P r газов слабо зависит от температуры, поэтому для них  и данное отношение в критериальных уравнениях не учитывается.

При вынужденной конвекции вводятся поправочные коэффициенты:

 - на недостаточную длину трубы, учитывает влияние на теплообмен входного участка;  представляется в табличном виде; при  слабо зависит от Re и  можно определить по выражению ; при =1,0;

 - на изгиб трубы; = 1+1,77 d/R, где R – радиус изгиба;

- на змеевик; , где D – диаметр спирали.

Примеры критериальных уравнений

1. Свободная конвекция:

а) при горизонтально расположенной трубе 10³ < (G_rP_r) < 10⁸:

N_uf = 0,5 (Gr_fPr_f) ^0,25 (Pr_f/Pr_w) ^0,25;                                             (14.2)

б) при вертикально расположенной трубе, (Gr_fPr_f) > 10⁹:

N_uf = 0,15 (Gr_fPr_f) ^0,33 (Pr_f/Pr_w) ^0,25.                                            (14.3)

2. Вынужденная конвекция при движении среды в каналах:

а) при ламинарном движении (Gr_fPr_f) > 8 × 10⁵:

N_uf = 0,15 Re_f ^0,33 Pr_f ^0,43 Gr_f^0,1 (Pr_f/Pr_w) ^0,25;                              (14.4)

б) при турбулентном движении Re_f  10⁴:

N_uf = 0,021 Re_f ^0,8 Pr_f ^0,43 (Pr_f/Pr_w) ^0,25 .                            (14.5)

3.При поперечном омывании пучка труб, Re = 10³... 10⁵:

а) при коридорном расположении труб (рис.18.3, б)

N_uf = 0,26 Re_f ^0,65 Pr_f ^0,33 (Pr_f/Pr_w) ^0,25 , где  = (S₂/d) ^-0,15; (14.6)

d - диаметр трубок, S₂ - расстояние между трубками по глубине;

=0,9 при i=2 (i – число рядов трубок);

б) при шахматном расположении труб (рис.18.3, а)

N_uf = 0,41 Re_f ^0,6 Pr_f ^0,33 (Pr_f/Pr_w) ^0,25 ,                               (14.7)

где  = (S₁/S₂) ^0,166    при S₁/S₂ < 2 и = 1,12 при S₁/S₂ ;

S₁ – расстояние между трубками в ряду по фронту; =0.7 при i=2;

                                                                                 =1.0 при i  3.

Основные теоремы подобия

Первая теорема (Ньютона – Бертрана). В подобных процессах критерии подобия численно равны.

Вторая теорема (Федермана – Букингема). Если физическое явление описывается системой дифференциальных уравнений, то всегда существует возможность представления их в виде уравнений в критериях подобия, образованных из размерных физических параметров, входящих в дифференциальные уравнения и условия подобия.

Третья теорема (Кирпичева – Гухмана). Подобны те процессы, условия однозначности которых подобны, и критерии подобия, составленные из условий однозначности, численно равны.

Теория подобия лежит в основе организации и проведения эксперимента.

В соответствии с первой теоремой при проведении эксперимента необходимо измерять параметры, входящие в критерии подобия.

Из второй теоремы следует, что результаты эксперимента необходимо обрабатывать в критериях подобия с определением критериального уравнения.

По третьей теореме полученные критериальные уравнения можно распространять на те процессы, в которых подобны условия однозначности, и определяющие критерии подобия численно равны.

Тепловое излучение

Основные законы излучения.

Лучистая тепловая энергия – энергия колебаний непрерывного электромагнитного поля в интервале длин волн l=0,4…0,8 мкм видимого излучения и l = 0,8 мкм… 0,8 мм невидимого (инфракрасного или теплового) излучения.

Излучение (лучеиспускание) – процесс превращения внутренней энергии тела в лучистую энергию. Может быть сплошное (на всех длинах волн) и селективное (на отдельных участках спектра длин волн).

Перенос лучистой энергии – процесс распространения энергии в виде электромагнитных волн.

Лучистый поток Q, Вт – количество лучистой энергии, излучаемой телом в единицу времени.

Поверхностная плотность потока Е, Вт/м²- поток излучения с единицы поверхности в пределах телесного угла p, .

Монохроматическое излучение Q _l  - излучение в узком интервале длин волн; .

Интенсивность, или спектральная плотность, излучения , Вт/(м²м)-поверхностная плотность потока на данной длине волны; ; .

Собственное излучение – излучение данного тела, зависящее от его свойств и температуры.

Падающая лучистая энергия – излучение, которое тело получает от внешнего источника.

Поглощение – процесс превращения части падающей лучистой энергии во внутреннюю энергию тела.

Отражение – процесс отражения части падающей энергии; может быть диффузионным (равномерным во всех направлениях) и зеркальным (по законам геометрической оптики).

Пропускание – процесс пропускания части падающей лучистой энергии.

Эффективное излучение – сумма собственного и отраженного излучения.

Закон сохранения энергии для плотности падающей энергии (рис. 15.1):

, (15.1)

где А, R, D;- коэффициенты поглощения, отражения, пропускания, соответственно; ; ; .

Рис. 15.1

При А = 1 – абсолютно черное тело (АЧТ);

R = 1 – абсолютно белое тело (АБТ);

D = 1 – абсолютно прозрачное тело (АПТ).

В природе такие тела не существуют.

По свойствам к АЧТ близки сажа, снег, бархат (А= 0,97…0,98);

к АБТ – полированный металл, зеркальная поверхность (R = 0,97);

к АПТ – каменная соль.

Для одно – и двухатомных газов A + D» 1; R» 0. Большинство твердых тел и жидкостей практически непрозрачны для теплового излучения: A + R» 1; D» 0.

Большинство твердых тел можно рассматривать как серые тела. Серое тело (CT) – непрозрачное тело, имеющее, как и АЧТ, сплошной спектр излучения при одинаковом отношении на всех длинах волн. Индекс «0» здесь и далее означает параметр АЧТ.

Степень черноты – отношение плотности собственного излучения Е тела к плотности собственного излучения Е_о АЧТ при одной и той же температуре:

  или       .                                 (15.2)

Основные законы теплового излучения

Закон Планка

Закон Планка устанавливает за-висимость спектральной плотности потока излучения АЧТ от длины волны l и температуры Т (рис.16,2):

,            (15.3)

где с₁» 3,74 ·10^-16 Вт×м²;

с₂» 1,44 ·10^-2 мК.

Рис. 15.2

Закон Вина

Закон Вина определяет зависимость от температуры длины волны l _max, соответствующей максимальной спектральной плотности потока излучения : ,мм.                     (15.4)

Закон Стефана-Больцмана

Закон Стефана-Больцмана устанавливает зависимость плотности потока излучения Е_о АЧТ от его температуры: ,     (15.5)

где  » 5,67×10^-8 Вт/(м²К⁴)– постоянная Стефана-Больцмана.

Более удобная форма для расчетов: ,    (15.6)

где с₀ – коэффициент излучения АЧТ; с₀ = 5,67 Вт/(м²К⁴).

Для серых тел при Т = idem    Е< Е_о: , (15.7)

где  – коэффициент излучения СТ, Вт/(м²К⁴); - степень черноты СТ; .

Закон Ламберта

Закон Ламберта определяет значение плотности потока излучения  в зависимости от его направления (рис.15.3). Наибольшая плотность излучения по нормали к поверхности – яркость излучения; ,                         (15.8)

где Е – плотность излучения в полусферическое пространство.

Рис. 15.3       По остальным направлениям .  (15.9)

Плотность потока излучения на сферу радиусом R_о точечного источника мощностью Q: .                                           (15.10)

Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа устанавливает взаимосвязь между излучательной и поглощательной способностями серых тел и, как следствие, связь между степенью черноты e и поглощательной способностью А серых тел.

Две бесконечно большие пластины АЧТ и СТ (рис.16.4) находятся в состоянии теплового равновесия, A + R = 1, D = 0.

При установившемся теплообмене (Т₀=const, T=const) количество энергии Е,

излучаемой серой пластиной, равно

количеству энергии АЕ_о, поглощаемой ею:

Рис. 15.4                и .                  (15.11)

· Отношение излучающей способности СТ к его поглощающей способности есть величина постоянная, равная излучающей способности АЧТ при данной температуре.

Так как   ,    , то , (15.12)

то есть поглощающая способность СТ численно равна степени его черноты.