Условия перехода от ламинарного к турбулентному режиму течения неньютоновской жидкости

Известно, что для бингамовской жидкости условия перехода от структурного режима течения по бесконечно длинной цилиндрической трубе круглого сечения к турбулентному определяются как

откуда следует

(27)

число Рейнольдса; Не = критерий Хедстрема;

ρ — плотность критическом режиме течения; α=τ_о/τ_a; τ_a — касательное напряжение на стенке трубы при жидкости; d — диаметр трубы; w_ср.кр — среднеобъемная скорость жидкости при Здесь Re_kp = ρw_{ср. кр} d/η — критическое критическом режиме течения.

Анализ многочисленных экспериментальных данных показал, что при Не<10⁵ такой метод расчета дает вполне удовлетворительные результаты.

Наряду с уравнением Шведова—Бингама для описания реологического поведения некоторых типов нефти используется степенной закон (k — мера консистенции; n — показатель поведения жидкости).

При этом обобщенный критерий Рейнольдcа Re ' имеет вид:

Рассмотрим теперь вопрос о том, как найти численное значение величины Re_кр по известным бингамовским характеристикам жидкости.

Если по данному трубопроводу течет жидкость, то очевидно, что переход от структурного режима ее течения к турбулентному будет происходить при определенных значениях среднеобъемной скорости w_ср, касательного напряжения τ и градиента скорости на стенке, не зависящих от того, какой именно закон выбран для описания реологического поведения этой жидкости. Следовательно, если известны бингамовские характеристики жидкости τ_o и η то значе­ния k и п должны быть выбраны так, чтобы при критическом режиме течения значения величины среднеобъемных скоростей получились одинаковыми независимо от вида реологического уравнения.

Для жидкости, следующей степенному закону, величина среднеобъемной скорости при критическом режиме течения может быть

найдена как w_кр= . Для бингамовской жидкости величина w_кр может быть записана в виде критерий Сен-Венана; Sen_кр—значение критерия Сен-Венана при критическом режиме течения. Следовательно, при критическом режиме течения имеет место равенство

Второе уравнение может быть получено из условия равенства касательных напряжений и градиентов скорости на стенке трубы при критическом режиме течения т_a = τ₀ + = , откуда следует

Совместное решение этих уравнений дает

(28)

Внеся последнее значение в выражение для Re ', получим

(29)

Связь между величинами α и Sen_кр, полученная из точного решения уравнения Букингама, имеет вид

(30)

где

Таким образом, с помощью выражения (27), (28) и (29) может быть установлена однозначная связь между величинами , α и Re_кр.

Результаты расчетов по формулам (27), (28), (29) и (30) приведены на рис. Непосредственно из рисунка видно, что значениям Не <10⁵ соответствуют значения n>0,4. При этом величина меняется незначительно и в практических расчетах может приниматься равной = 2100. Величина Re_кр в этом же диапазоне значений Не монотон­но возрастает и меняется от 2100 до 6000.

В заключение следует отметить, что найденные по формулам (28) значения k и п справедливы лишь для критического режима течения. Если перепад давления р<р_кр (р_кр —перепад давления при критическом режиме течения), то средне-объемные скорости, найден­ные из уравнения Бингама — Шведова и степенного закона, будут различаться между собой тем больше, чем больше величина р от­личается от р_кр.

Все известные нефти нашей страны можно отнести к одной из следующих групп: Вязкие жидкости (ньютоновские и псевдопластичные) и вязко-пластичные (линейно вязко-пластичные или бингамовские и нелинейно вязко-пластичные). Для описания кривых течения таких жидкостей существует более двадцати реологических моделей. Реологические исследования нефтепродуктов показывают, что в рабочем диапазоне градиентов скоростей промышленных трубопроводов, наиболее общей моделью, описывающей обе группы жидкостей является модель Балкли - Гершеля:

(31)

где τ – напряжение сдвига; τ₀ – предельное напряжение сдвига; k – мера консистенции жидкости; – показатель поведения жидкости; S- градиент скорости.

При τ₀=0 (31) описывает псевдопластичную жидкость. При n=1 уравнение (31) переходит в уравнение бингамовской жидкости. При τ₀=0 и n=1 уравнение (31) описывает течения ньютоновской жидкости.

После проведения реологических исследований и построения кривых τ – S для различных температур можно определить какому виду отнести исследуемую нефть и рассчитать параметры τ₀ k n.

Для расчета трубопровода при турбулентном режиме течения, когда нефть проявляет вязко-пластичные свойства, общепринятой методики расчета нет. При изотермическом течении в каждом конкретном случае применяются полученные на основе экспериментов и теории подобия формулы вида

Располагая реологическими характеристиками, можно выполнить гидравлический расчет трубопровода по следующей методике. Для определения режима течения нефти в изотермическом трубопроводе рассчитывается параметр Хедстрема (He) и обобщенный параметр Рейнольдса (Re*)

 

 

где параметр Ильюшина; D –диаметр трубопровода; W –скорость жидкости в трубопроводе; ρ – плотность жидкости

ЛЕКЦИЯ № 9

Предварительно рассмотрим задачу о течении жидкости плотности и с коэффициентом динамической вязкости сквозь горизонтальную цилиндрическую трубку радиусa под действием постоянного перепада давлений на участке трубы длиной l. При этом через трубку проходит также постоянный секундный объемный расход Q. Из двух возможных рассмотрим следующую постановку задачи. Применим метод подобия, основанный на анализе размерностей входящих в рассматриваемую задачу величин:

Задан требуемый расход Q, надо рассчитать необходимый для его получения перепад давления

на заданном участке трубы длиной l.

Отвлекаясь от объемных сил (в данном случае силы тяжести) и принимая во внимание стационарность задачи получим, что среди чисел подобия останутся лишь число Эйлера

и число Рейнольдса . В этом случае (подлежит определению ) критерием подобия будет число Рейнольдса Re, а число Эйлера явится его функцией.

Определим, как это было сделано ранее, коэффициент сопротивления λ трубы круглого сечения формулой, согласно формуле сопротивления (Eu=λ/2)

(*)

при этом будем иметь λ=f(Re). Согласно закону Пуазейля: при установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения секундный объемный расход пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса (или диаметра)

Если определить из этого закона через среднюю по сечению скорость

и подставить в формулу сопротивления, то после простых приведенийполучим следующий закон сопротивления для цилиндрических круглых труб:

.

Формула сопротивления (*) только внешне имеет вид квадратичной зависимости от средней скорости. Истинная зависимость от скорости определяется лишь на основании закона сопротивления, выводимого из уравнения движения жидкости.

Для приближенной оценки сопротивления цилиндрических труб сложного фигурного профиля применяют прием сравнения сопротивлений этих труб с сопротивлением «эквивалентной» им по сопротивлению трубы круглого сечения, у которой за радиус (или диаметр) принимается так называемый «гидравлический» радиус r_г (или диаметр d_г= 2r_г), равный отношению площади нормального сечения S трубы к периметру P сечения:

Прием этот достаточно груб и имеет смысл только, если у сравниваемых труб сечения геометрически близки друг к другу.

Для выяснения смысла этого приема, рассмотрим связь между перепадом давления на некотором, произвольно выбранном участке трубы l и суммарным трением по внутренней, так называемой «смоченной» поверхности этой трубы. Примем во внимание, что движение стационарно (одинаково во всех сечениях). Это соответствует равновесию объема жидкости, ограниченного двумя сечениями S₁=S₂=S трубы, находящимися друг от друга на расстоянии l, и боковой поверхностью трубы, равной произведению периметра сечения Р на длину участка l. Условием равновесия служит очевидное равенство ( - переменное, в общем случае, по периметру сечения напряжение трения, ds –дифференциал дуги периметра)

,

где через обозначено среднее по периметру напряжение трения .Отсюда, применяя введенное понятие гидравлического радиуса, получим

(**)

т.е. среднее по периметру цилиндрической трубы напряжение трения равно перепаду давления на участке трубы длиной в гидравлический радиус.

В частном случае круглой трубы:

Напряжение трения в круглой трубе совпадает по величине с перепадом давления на участке длиной в половину радиуса трубы, т. е.

(***)

Проведем в плоскости нормального сечения трубы замкнутый контур С, подобный относительно некоторого центра подобия О контуру С_w, ограничивающему сечение. Применяя формулу (**) к сечениям С и С_w и сохраняя значок w для величин, относящихся к внешнему контуру найдем

откуда следует, что средние значения напряжений трения по подобным контурам относятся как гидравлические радиусы труб, имеющих эти контуры сечений

В случае трубы круглого сечения ()

Будет выполняться равенство

, (****)

выражающее линейность связи между напряжением трения, приложенным к площадке, перпендикулярной к радиус-вектору любой точки некоторого сечения, и величиной этого радиус-вектора. Равенство (***) в дальнейшем будет применяться неоднократно.

Отметим, что при выводе (**) никак не использовалась ламинарность движения и свойственная этому режиму эпюра скоростей Таким образом, соотношение (**) может быть применено и к турбулентному движению жидкости по цилиндрической трубе произвольной формы сечения

Соотношения (*), (**), (***), (****) выражающие баланс движущего жидксть перепада давления с тормозящим движение сопротивлением трения, может применяться к движениям любых сплошных сред по цилиндрическим трубам, в частности к движениям неньютоновских жидкостей, каковыми являются нефтяные дисперсные системы.

Ранее для неньютоновской вязкой жидкости было введено понятие кажущейся вязкости:

(1)

и текучести

(2)

В отличие от ньютоновской жидкости величины — не константы, а функции касательного напряжения.

При движении неньютоновской вязкой жидкости по трубе радиусом и длиной под действием перепада давления распределение касательного напряжения по радиусу, как и в случае ньютоновской жидкости, имеет вид:

(3)

где касательное напряжение на стенке трубы, определяемое из соотношения:

(4)

Распределение скорости по сечению трубы определяется по формуле

где задается реологическим уравнением жидкости .

При любом виде функции расход неньютоновской вязкой жидкости определяется из соотношения

Среднеобъемная скорость, представляющая собой отношение расхода жидкости к площади сечения потока, вычисляется следующим образом:

Установлено, что перепад давления потерянный на сопротивление, всегда растет с увеличением среднеобъемной скорости.

Формулы (2), (3) справедливы при отсутствии пристенного скольжения.

При вращательном движении неньютоновской вязкой жидкости между двумя соосными цилиндрами распределение касательного напряжения по радиусу имеет вид:

(7)

где M — момент сил трения, действующих на единицу длины цилиндра.

Угловая скорость наружного цилиндра Ω при отсутствии пристенного скольжения и неподвижном внутреннем цилиндре определяется по формуле

где — напряжения сил трения на поверхностях внутреннего и наружного цилиндров соответственно.