Закон распределения скорости в сечении круглой цилиндрической трубы при прямолинейном движении вязко-пластичной жидкости

Для вязко-пластичной жидкости в соответствии с ранее приведенными зависимостями:

(9)

Распределение скорости получим, воспользовавшись формулой (5) и учитывая, что

определяется по (9)

При

 

 

При

 

 

Учитывая результаты интегрирования, распределение скорости записывается следующим образом:

 

(10)

Обозначим радиус, при котором касательное напряжение становится равным , через

(11)

где —перепад давления, длина трубы.

Учитывая, что

После несложных преобразований, получим:

Следовательно, эпюра скоростей имеет вид, показанный на рис. 2 и состоит частью из поверхности параболоида вращения (от стенки трубы до цилиндрической поверхности радиуса ), а частью из плоской площадки, перпендикулярной к оси трубы (в центральной части трубы). В центральной части трубы вязко-пластичная жидкость движется как твердый стержень радиуса испытывающий упругие деформации и называется ядром течения. Американцы ядро течения называют lubricated lug flow. (смазанный наконечник потока)

В некоторых случаях такой «твердый стержень» образуется в непосредственной близости к стенке трубы и по свойству «прилипания» вязкой жидкости к твердой поверхности может остаться неподвижным. При этом эффективный диаметр трубы (трубопровода) уменьшается и, как правило, снижается пропускная способность.

 

τ0

				τw

 

 

Режим движения, при котором имеет место распределение скоростей, показанное на рис. 2, получил название «структурного режима движения». Имея эпюру скоростей, легко определить секундный объемный расход Q вязко-пластичной жидкости сквозь сечение трубы. Расход жидкости через поперечное сечение трубы определится из выражения:

 

Формула (13) также впервые была получена Букингамом. При формула (13) переходит в известную формулу Пуазейля. Если принять, что формула распределения скоростей справедлива при т.е. принять, что уравнения движения вязко-пластичной жидкости описывают всю область движения, то формула для определения расхода примет вид:

 

Отметим, что

Формула (14) часто используется в литературе по бурению нефтяных и газовых скважин. Точность ее увеличивается с уменьшением Так, например, при третий член в формуле (14) равен и им можно пренебречь по сравнению с разностью первых двух членов . При этом погрешность в определении Q около -6%. Введем обозначение

При этом

Для малых значений ξ можно записать приближенное соотношение:

Следовательно, для малых значений ξ расход приближенно равен

(15)

Если принять радиус ядра достаточно большим и близким к , то приближенно расход можно вычислить по формуле:

Например при ξ=0,2 ( =0.8) погрешность при определении Q по формуле (15) составляет около 13%. При значениях ξ <0.2 эта погрешность уменьшается.

С целью определения реологических параметров вязко-пластичной жидкости и на ротационном вискозиметре, требуется найти связь между угловой скоростью наружного цилиндра и моментом сил трения , действующим на единицу длины цилиндра, считая что напряжение трения на наружном цилиндре .

Угловая скорость наружного цилиндра определяется по формуле (8). Так как по условию касательное напряжение на стенке , а при уменьшении радиуса касательное напряжение растет (формула (7)), то во всем зазоре , и вся жидкость течет. Подставив (9) в (8), получим:

(17)

В соответствии с формулой (7)

Подставив эти соотношения в (17), получим:

(18)

Пример При проведении опыта на ротационном вискозиметре было измерено, что при Ω=60с^-1 M=0,05Н, а при Ω=30с^-1 M=0,03Н. Считая, что жидкость вязко-пластичная найти величины

и

Решение Записывая в общем виде соотношение (18) для двух значений Ω (Ω₁,Ω₂) и соответствующих двух значений М (М₁,М₂) получим два линейных уравнения, разрешая которые находим:

;

Подставляя исходные данные в последние соотношения, получим η= 0,074 Па с; τ₀= 2,73 Па

Примеры для самостоятельного рассмотрения

1. Вывести формулу для зависимости расхода Q при течении вязко-пластичной нефти в трубе радиусом и длиной от перепада давления и реологических параметров нефти

2. Найти закон распределения скорости по радиусу при течении нефти, подчиняющейся степенной зависимости движения жидкости в круглой трубе радиусом . Реологические параметры нефти k, n и перепад давления на единицу длины трубы Δp/l считать известными.

3. Вывести формулу зависимости расхода Q при течении «степенной нефти» в трубе радиусом и длиной от перепада давления и реологических параметров k, n.

4. По трубе длиной и диаметром d=0.1м течет вязко-пластичная нефть с реологическими параметрами η= 0,1 Па с; τ₀= 4,5 (Н/м²). Перепад давления Δp=5 10⁵. Найти расход Q и радиус ядра потока r₀. Ответ: Q=6,5 10 ^-3 м³/с; r₀=1,8 10^-2м.

5. По трубе течет «степенная нефть». Найти отношение максимальной скорости w_max к средней скорости w_ср. Ответ: w_max/w_ср= (3n+1)/(n+1).

6. Определить момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра ротационного вискозиметра, если наружный цилиндр вращается с угловой скоростью

Ω=10 с^-1, τ₀= 5 Н/м², η=1 Па⋅ с, радиус наружного цилиндра ,

Ответ: М=0,026 Н.

7. По трубе длиной и диаметром d=2 см течет вязко-пластичная нефть. При перепаде давления Δp=10⁴, расход Q=0,01 л/с, а при Δp=3⋅10⁴, расход Q=0,05 л/с. Определить τ₀ и η. Ответ: τ₀= 1,82 Па; η =0,2 Па⋅ с.

8.Вязко-пластичная нефть обладает начальным напряжением сдвига τ₀= 2,5 Па и коэффициентом пластической вязкости η =0,2 Па⋅ с. Определить кажущуюся вязкость и текучесть при скорости сдвига =100с^-1. Ответ: =0.125 Па⋅ с ;

9.Пользуясь π-теоремой, определить от каких безразмерных параметров зависит коэффициент гидравлического сопротивления при течении вязко-пластичной жидкости в трубе.

Известно, что для бингамовской жидкости условия перехода от структурного режима течения по бесконечно длинной цилиндрической трубе круглого сечения к турбулентному определяются как

откуда следует

(19)

Здесь Re_kp = ρw_{ср. кр} d/η — критическое число Рейнольдса; Не = критерий Хедстрема;

ρ — плотность жидкости; d — диаметр тру­бы; w_ср.кр — среднеобъемная скорость жидкости при критическом режиме течения; α=τ_о/τ_a; τ_a — касательное напряжение на стенке трубы при критическом режиме течения.

Анализ многочисленных экспериментальных данных пока­зал, что при Не<10⁵ такой метод расчета дает вполне удовлетво­рительные результаты.

Наряду с уравнением Шведова—Бингама для описания реологического поведения некоторых типов нефти используется степенной закон (k — мера консистенции; n — показатель поведения жидкости).

При этом обобщенный критерий Рейнольдcа Re' имеет вид:

Рассмотрим теперь вопрос о том, как найти численное значе­ние величины Re_кр по известным бингамовским характеристикам жидкости.

Если по данному трубопроводу течет жидкость, то очевидно, что переход от структурного режима ее течения к турбулентному будет происходить при определенных значениях среднеобъемной скорости w_ср, касательного напряжения τ и-градиента скорости на стенке, не зависящих от того, какой именно закон выбран для описания реологического поведения этой жидкости. Следовательно, если известны бингамовские характеристики жидкости τ_o и η то значе­ния k и п должны быть выбраны так, чтобы при критическом режиме течения значения величины среднеобъемных скоростей получились одинаковыми независимо от вида реологического уравнения.

Для жидкости, следующей степенному закону, величина среднеобъемной скорости при критическом режиме течения может быть

найдена как w_кр= . Для бингамовской жидкости величина w_кр может быть записана в виде критерий Сен-Венана; Sen _кр —значение кри­терия Сен-Венана при критическом режиме течения. Следователь­но, при критическом режиме течения имеет место равенство

Второе уравнение может быть получено из условия равенства ка­сательных напряжений и градиентов скорости на стенке трубы при критическом режиме течения т_a = τ₀ + = , откуда сле­дует

Совместное решение этих уравнений дает

(20)

Внеся последнее значение в выражение для Re', получим

(21)

Связь между величинами α и Sen_кр, полученная из точного реше­ния уравнения Букингама, имеет вид

(22)

где

Таким образом, с помощью выражения (19), (20) и (21) может быть установлена однозначная связь между величинами , α и Re_кр.

Результаты расчетов по формулам (19), (20), (21) и (22) приведены на рис.. Непосредственно из рисунка видно, что значениям Не <10⁵ соответствуют значения n>0,4. При этом величина меняется незначительно и в практических расчетах может приниматься равной = 2100. Величина Re_кр в этом же диапазоне значений Не монотонно возрастает и меняется от 2100 до 6000.

В заключение следует отметить, что найденные по формулам (20) значения k и п справедливы лишь для критического режима течения. Если перепад давления р<р_кр (р_кр —перепад давления при критическом режиме течения), то средне-объемные скорости, найденные из уравнения Бингама — Шведова и степенного закона, будут различаться между собой тем больше, чем больше величина р отличается от р_кр.

Установим закон сопротивления для течения вязко-пластичной нефтяной дисперсной системы в цилиндрических круглых трубах. Используем ту же формулу сопротивления (*), что и для ньютоновской вязкой жидкости. Средне-объемная (средняя по сечению) скорость w_ср для вязко-пластичной нефти имеет вид:

(23)

К сожалению, равенство (23) относительно простым образом разрешено быть не может. Поэтому применяется следующий прием. Из (23) следует

; (24)

с другой стороны из (23) может определено число Рейнольдса

Re= (25)

Безразмерное число не содержит . Оно характеризует вязко-пластические свойства жидкости. Совокупность двух равенств

Re

можно рассматривать как параметрическое (роль параметра играет величина выражение закона сопротивления движению в трубах вязко-пластических жидкостей. Исключая из последней системы равенств параметр , получим

откуда следует общий вид закона сопротивления движению вязко-пластичной нефти по трубам круглого сечения

, (26)

Таким образом, в теории подобия течений вязко-пластичной нефти по круглым цилиндрическим трубам имеют место два критерия подобия:

o Число Рейнольдса ; характеризующее влияние структурной вязкости

o Число Сен-Венана (так называемый «параметр пластичности») определяющий эффект пластичности нефти. Отметим, что параметр пластичности не влияет на переходной процесс от ламинарного движения к турбулентному.