Общий случай разветвленной цепи

Для цепи, изображенной на рис. 133, на основании первого закона Кирхгофа для действующих значений токов можно записать

,

Рисунок 133. Общий случай разветвлённой цепи

 

где:                  -   ток первой ветви;

 -  ток второй ветви.

На рис. 134 представлена векторная диаграмма для приведенной схемы.

Рисунок 134. Векторная диаграмма токов и напряжений для общего случая разветвлённой цепи

Векторная диаграмма строилась в следующей последовательности:

1. за исходный вектор принимаем вектор напряжения на зажимах цепи, т.к. оно является общим для параллельных ветвей;

2. под углом φ₁= arccos φ ₁  по часовой стрелке относительно вектора U (т.к. ток в первой ветви носит активно-индуктивный характер и отстает по фазе от напряжения) строим вектор тока I ₁;

3. под углом φ₂= arccos φ ₂  против часовой стрелки относительно вектора U (т.к. ток во второй ветви носит активно-емкостный характер и опережает по фазе напряжение) строим вектор тока I ₂;

4. строим вектор тока в неразветвленной части цепи, как геометрическую сумму векторов токов I ₁ и   I ₂ (диагональ параллелограмма, построенного на векторах I ₁ и   I ₂).

Для аналитического сложения векторов необходимо их разложить на активные и реактивные составляющие. Анализируя векторную диаграмму после разложения векторов, легко заметить, что:

· активная составляющая тока в неразветвленной части цепи равна арифметической суммеактивных составляющих токов в параллельных ветвях

,                        (15.2)

· реактивная составляющая тока в неразветвленной части цепи равна алгебраической суммереактивных составляющих токов в параллельных ветвях

,                       (15.3)

· полный ток в неразветвленной части цепи равен геометрической суммеполных токов в параллельных ветвях

,                        (1.4)

Подставив в (15.2 – 15.3) значения активных и реактивных составляющих токов в параллельных ветвях получим:

,

где:        - эквивалентная активная проводимость всей цепи, равная арифметической суммеактивных проводимостей параллельных ветвей.

 ,

где:         - эквивалентная реактивная проводимость всей цепи, равная алгебраической суммереактивных проводимостей параллельных ветвей.

Учитывая, что

I = U ∙ y,

и c учетом (15.4) получим:

,

т.е. эквивалентная полная проводимость всей цепи равна геометрической суммеактивных и реактивных проводимостей всей цепи.

Коэффициент мощности всей цепи можно определить по формуле:

.

Умножив вектора токов векторной диаграммы на U, получим:

· активная мощность всей цепи равна арифметической сумме активных мощностей параллельных ветвей:

 ;     (15.5)

· реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей параллельных ветвей:

, (15.6)

Если Q >0, то вся цепь будет иметь активно-индуктивный характер, если Q <0 - активно-емкостный характер;

· полная (кажущаяся) мощность всей цепи равна геометрической сумме активной и реактивной мощностей всей цепи:

.

Выражения (15.5) и (15.6) носят названия баланса активных и реактивных мощностей.