Использование частных производных для нахождения абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений

Для функций, зависящих от нескольких аргументов, вводят понятия частного и полного дифференциалов. В данном пособии мы не будем вводить эти понятия, а лишь запишем готовые формулы. Так, выражение  есть частный дифференциал функции, зависящей от нескольких переменных, по аргументу . Аналогично  – частный дифференциал функции по аргументу ,  – частный дифференциал функции по аргументу .

Чтобы найти частный дифференциал функции нескольких переменных по какому-либо аргументу, нужно найти частную производную функции по этому аргументу и умножить ее на приращение этого аргумента.

Пример. Найдите частные дифференциалы функции .

 – частный дифференциал функции по аргументу .

 – частный дифференциал функции по аргументу .

Полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов:

Полные дифференциалы функций нескольких переменных используют для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений. Косвенными называют измерения, проводимые с использованием результатов прямых измерений (снимаемых непосредственно со школ измерительных приборов), числовых констант и связывающих их закономерностей. Фактически косвенные измерения – это расчеты по формулам, в которые входят результаты прямых измерений, как аргументы функции (рассчитываемой величины). Подробнее о проведении измерений и их обработке см. [указать номер в литературе методички по погрешностям] Здесь же мы приведем готовые формулы для расчета абсолютной и относительной погрешностей косвенно измеренной величины.

 – формула для расчета абсолютной погрешности измерения косвенной величины ;

 – формула для расчета относительной погрешности измерения косвенной величины ;

Пример. Произведены серии прямых измерений диаметра  и высоты  сплошного цилиндра. Найдены их средние значения  и  и определены абсолютные погрешности  и  прямых измерений диаметра и высоты. По приведенным численным данным рассчитайте средний объем цилиндра  и оцените абсолютную и относительную погрешности этого косвенного измерения.

 мм,  мм,  мм,  мм

Найдем средний объем цилиндра:

, мм ³

Выведем формулы для расчета абсолютной и относительной погрешностей данного косвенного измерения. Для этого найдем следующие частные производные:

;

.

Составим формулу для вычисления абсолютной погрешности косвенного измерения объема:

.

Для того, чтобы составить формулу для относительной погрешности косвенного измерения объема, сначала нужно прологарифмировать исходную функцию, так как в формулу для  входят частные производные от логарифма функции. Итак:

;

 

;

 

.

Теперь составим формулу для вычисления относительной погрешности косвенного измерения объема:

.

Вычислим погрешности:

 

 

Обратим внимание на то, что абсолютная и относительна погрешности связаны соотношением . Поэтому, зная одну из погрешностей и среднее значение функции, легко найти другую погрешность по этому соотношению без вычисления для нее соответствующих частных производных. Предлагаем Вам самостоятельно проделать эти расчеты для рассмотренного примера.

Также учтите, что при расчетах относительная погрешность выражается в долях. Для более удобного восприятия принято выражать ее в процентах .

В методическом пособии [наша методичка по погрешностям] рассказано, как правильно записать результат измерения, округлив его по правилам. Здесь мы сразу запишем результат косвенного измерения с учетом округления по форме:

.          Имеем:       

Следует отметить, что если формула для расчета в косвенном измерении величины представляет собой произведение или частное прямо измененных величин (как в рассмотренном примере), то выгоднее выводить формулу для расчета относительной погрешности косвенного измерения. Как правило, она получается проще и короче, нежели формула, полученная для расчета абсолютной погрешности этого косвенного измерения. Если же исходная формула представляет собой сумму или разность некоторых слагаемых, то лучше выводить формулу для расчета абсолютной погрешности, формула для расчета относительной погрешности в этом случае получится более сложной. И, как сказано выше, зная величину одной из погрешностей и среднее значение функции легко найти другую погрешность.

2.3. Задания для самостоятельного решения

 

I. Найдите частные производные функции  по всем ее переменным:

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

II. Найти все вторые частные производные следующих функций:

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)

 

III. Выведите формулы для расчета абсолютной и относительной погрешностей косвенно измеренной величины.

1) В лабораторной работе по изучению сухого трения коэффициент трения качения, как косвенно измеренная величина, определяется по формуле , где  – прямо измененные величины. Выведите формулы для расчета абсолютной и относительной погрешностей косвенного измерения коэффициента . Оцените, какую из полученных формул было сразу выгоднее выводить. Почему?

2) В лабораторной работе по изучению вязкого трения коэффициент вязкого трения, как косвенно измеренная величина, определяется по формуле

 

Вместо этих формул нужно написать формулу для расчета коэффициента вязкости!!!

 

 

, где  – прямо измененные величины. Оцените, какую из формул для расчета абсолютной или относительной погрешности выгоднее выводить. Выведите ее.

 

3) Некоторая величина  является косвенным измерением и рассчитывается по формуле , где  – прямо измененные величины.