Интегрирование рациональных дробей

Метод основан на том, что рациональную дробь можно представить в виде суммы рациональных дробей. Способ интегрирования таких дробей зависит от того, имеет ли знаменатель дроби корни, и является ли дробь правильной. На примерах рассмотрим, как решают такие интегралы.

Пример 1.

Подынтегральная функция является правильной дробью. Ее знаменатель имеет два корня   и   (это можно выяснить, решив квадратное уравнение, которое представляет знаменатель). Тогда подынтегральную дробь можно представить так:

Последнюю дробь можно представить, как сумму дробей:

Приводя сумму дробей к общему знаменателю, получим:

Таким образом, получаем, что:

Если дроби равны, следовательно, равны их числители и знаменатели. Тогда:

Раскроем скобки в правой части равенства и приведем подобные слагаемые:

Если многочлены равны, то коэффициенты при переменных в соответствующих степенях тоже равны:

Решая эту систему относительно   и  , получим, что  , а  . Зная коэффициенты   и  , мы может заменить исходную подынтегральную дробь на сумму дробей. При этом получим более простые интегралы:

При решении последних интегралов «подделали» дифференциал, чтобы интеграл принял табличный вид. При таком «подделывании» дифференциала нужно помнить, что если переменную умножаем на какое-либо число, то нужно и поделить на это число. Причем не нужных по форме множитель можно вынести за знак дифференциала и далее за знак интеграла.
Действительно, например,  . Здесь подправили дифференциал, помножив его на 3, и компенсировали это изменение, поделив дифференциал на 3. А вот прибавить или вычесть число под дифференциалом можно без исправлений. Действительно,  , так как  . В нашем примере  . Именно так и поступили, решая последние интегралы в приведенном выше примере.

Пример 2.

В данном случае знаменатель подынтегрального выражение имеет два одинаковых корня , и подынтегральную дробь нужно представить в такой суммы:

Если дроби равны, следовательно равны их числители и знаменатели. Тогда:

Раскроем скобки в правой части равенства и приведем подобные слагаемые:

Если многочлены равны, то коэффициенты при переменных в соответствующих степенях тоже равны:

Решая эту систему относительно   и  , получим, что  , а  . Зная коэффициенты   и  , мы может заменить исходную подынтегральную дробь на сумму дробей. При этом получим более простые интегралы:

Пример 3.

В данном случае знаменатель подынтегрального выражение не имеет действительных корней. Представим подынтегральную функцию в виде следующей суммы:

Если дроби равны, следовательно равны их числители и знаменатели. Тогда:

Если многочлены равны, то коэффициенты при переменных в соответствующих степенях тоже равны:

Решая эту систему относительно   и  , получим, что  , а  . Зная коэффициенты   и  , мы может заменить исходную подынтегральную дробь на сумму дробей. При этом получим более простые интегралы:

Пример 4.

Теперь мы имеем дело с неправильной рациональной дробью под интегралом. В таких случаях неправильную дробь представляют в виде целой части и правильной рациональной дроби. В данном случае получим:

.

Теперь интеграл можно представить в виде суммы:

.

и теперь работать с правильной рациональной дробью во втором интеграле. Многочлен в знаменателе этой дроби имеет два корня   и . Имеем:

Если дроби равны, следовательно равны их числители и знаменатели. Тогда:

Раскроем скобки в правой части равенства и приведем подобные слагаемые:

Если многочлены равны, то коэффициенты при переменных в соответствующих степенях тоже равны:

Решая эту систему относительно   и  , получим, что  , а  . Зная коэффициенты   и  , мы может заменить исходную подынтегральную дробь на сумму дробей. При этом получим более простые интегралы:

 

3.6. Задания для самостоятельного решения

 

I. Решите следующие интегралы методом непосредственного интегрирования

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)

 

II. Решите следующие интегралы методом замены переменной

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)
13)	14)
15)	16)

 

III. Найдите интегралы, применяя метод интегрирования по частям

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)

 

IV. Найдите интегралы от рациональных дробей

1)	2)
3)	4)

 

IV. Применяя различные методы, найдите интегралы

1)	2)
3)	4)
5)	6)

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ