Понятие о частных производных функции

Нескольких переменных

Мы уже отмечали, что реальные процессы сложны и многогранны. На их протекание влияет множество факторов, что при математическом описании отражается в зависимости функции от нескольких переменных. Но нельзя изучать влияние на функцию всех переменных одновременно. Это делают поочередно, рассматривая, как изменяется результат (функция) при изменении одного фактора (одной переменной), затем другого фактора (следующей переменной) и т.д. Одновременное же изучение зависимости функции от нескольких факторов может дать неверный результат, так как одни факторы могут усиливать друг друга, другие ослаблять или компенсировать. Поэтому и возникает задача изучения быстроты изменения результата (функции) от каждого конкретного, влияющего на нее фактора (переменной).

Нахождение изменения функции в частности от данной, конкретной переменной – по сути и есть вычисление частной производной.

Частной производной функции  по аргументу  называют предел отношения  при стремлении приращения  к нулю и записывают:

.

Аналогично дают определение частной производной функции по любому другому ее аргументу, например, по :

.

Обращаем внимание на то, что при вычислении частной производной функции по какому-либо ее аргументу, все остальные аргументы считают постоянными величинами. Фактически частную производную ищут как обыкновенную производную функции одной переменной, полагая остальные переменные константами.

Выражения , ,  не воспринимают как отношение дифференциалов, их рассматривают как неразрывные символы частных производных.

Рассмотрим примеры нахождения частных производных функций. Будем помнить, что те аргументы, по которым в данном случае не ищем производную, считаем константами. А все постоянные величины можно выносить за знак производной. Поэтому для того, чтобы было проще решать, сначала будем выносить все константы за знак производной, а затем искать производную от оставшегося выражения.

Пример 1. . Найдите частные производные функции  по всем ее переменным.

Отметим, что второе слагаемое функции  не содержит переменной , по которой ищем частную производную, его сомножители  сейчас считаем константами, а производная постоянной величины равна нулю.

 

Напомним, что производную от  можно найти двумя способами:

а) представить ее как степенную функцию, стоящую в числителе ;

б) найти производную этой функции по правилу для производной частного:

.

Как видим, результаты получаются одинаковые.

Пример 2. . Найдите частные производные функции  по всем ее переменным.

Пример 3. . Найдите частные производные функции  по всем ее переменным.

Так же, как и для функций одной переменной, для функций, зависящих от нескольких переменных, можно искать производные высших порядков.

Рассмотрим это на примере функции двух переменных.

Частными производными второго порядка или вторыми частными производными функции  называют частные производные от частных производных этой функции первого порядка.

Частные производные высших порядков, взятые только по одной переменной, называют чистыми производными, а те, что берут по разным переменным, называют смешанными производными.

Частные производные второго порядка функции двух переменных обозначают так:

 – вторая частная производная функции  по переменной , то есть сначала взяли первую частную производную функции  по переменной , а затем взяли частную производную по переменной  от полученной первой частной производной функции по переменной ; запись  читают так «дэ два у по дэ икс дважды»; обращаем внимание, что в этой записи цифры 2 означают порядок производной (вверху) и сколько раз взята производная данной функции по переменной  (внизу);

 – вторая частная производная функции  по переменной ;

 – вторая смешанная производная функции  по переменным  и , то есть сначала взяли первую частную производную функции  по переменной , а затем от полученной производной взяли частную производную по переменной ; запись  читают так «дэ два у по дэ икс дэ игрек»;

 – вторая смешанная производная функции  по переменным  и , то есть сначала взяли первую частную производную функции  по переменной , а затем от полученной производной взяли частную производную по переменной ; запись  читают так «дэ два у по дэ икс дэ игрек».

Как видим, вторые смешанные производные отличаются друг от друга порядком дифференцирования.

Отметим, что существует теорема о том, что, если вторые смешанные производные функции двух переменных существуют и непрерывны в точке дифференцирования, то они равны между собой.

Покажем вычисление вторых производных функции двух переменных на примере.

Пример 1. . Найдем вторые частные производные этой функции. Для этого сначала найдем ее первые частные производные.

Теперь найдем вторые частные производные функции. Сначала дважды по :

Теперь дважды по :

А теперь найдем смешанные производные второго порядка. Сначала по  по :

Найдем смешанную производную второго порядка по  и по :

Видим, что смешанные производные второго порядка равны.

Пример 2. . Найти для указанной функции все частные производные второго порядка.

Найдем частные производные первого порядка.

Найдем частные производные второго порядка.

Видим, что смешанные производные второго порядка равны.

Можно искать частные производные функций и более высоких порядков. Аналогично рассмотренному выше находят частные производные функций, зависящих от трех и более аргументов.