Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называют уравнение, которое может быть представлено в виде:

Решение этого уравнения основано на разделении переменныхпо разным частям уравнения, то есть на преобразовании уравнения к такому виду, когда искомая функция   и ее дифференциал   представлены только в одной части уравнения, а аргумент  и его дифференциал – в другой. Заметим, что производную  можно записать как , откуда и появляются дифференциалы  и . Тогда уравнение принимает вид:

.

Разделим обе части уравнения на функции и , дополнительно полагая, что они не равны нулю. Получим уравнение, называемое дифференциальным уравнением с разделенными переменными:

.

Заметим, что дифференциалы могут стоять только в числителе.

Для решения этого уравнения достаточно проинтегрировать его левую и правую части:

.

В результате получим общее решение исходного дифференциального уравнения в неявном виде:

.

Рассмотрим решение этого вида дифференциальных уравнений на примерах.

Пример 1. Решите уравнение  и найдите его частное решение, удовлетворяющее условию .

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка (так как содержит производную первого порядка ) с разделяющимися переменными. Обратимся к общему виду таких уравнений: . Если уравнение записать так: , то видно, что в нашем случае стоящие в уравнении функции имеют вид: , , , .

Если производную  записать через дифференциалы , то уравнение примет вид:

.

 Разделим переменные, то есть перенесем все, что касается  в одну часть уравнения, а что касается  в другую. При это помним, что дифференциалы  и  могут быть только в числителе. Получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

.

Чтобы решить это уравнение проинтегрируем его:

.

Константы  и  можно перенести в одну часть уравнения, объединить и представить в удобном виде. В нашем случае обозначим общую константу . Это целесообразно делать с целью упрощения дальнейших преобразований в тех случаях, когда при интегрировании дифференциального уравнения с разделенными переменными в левой или правой частях уравнения появляются логарифмы. Тогда имеем:

.

Получили общее решение нашего дифференциального уравнения. Это множество функций указанного вида с различными коэффициентами .

Используя начальное условие , из общего решения найдем частное решение дифференциального уравнения:

.

Мы нашли определенное значение произвольной постоянной  и можем записать соответствующее искомое частное решение дифференциального уравнения:

.

Пример 2. Решите уравнение  и найдите его частное решение, удовлетворяющее условию .

Запишем производную  через дифференциалы , тогда уравнение примет вид:

.

 Разделим переменные, получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

.

Чтобы решить это уравнение проинтегрируем его:

.

В левой части воспользуемся определением дифференциала функции . В нашем случае  , тогда , следовательно  можно заменить на . Получим:

.

Обозначим  через  и найдем интегралы:

В решении константы  и  перенесли в одну часть уравнения, объединили и представили в виде общей константы . Теперь вернемся от переменной  к переменной :

.

Получили общее решение дифференциального уравнения. Это множество функций указанного вида с различными коэффициентами . Используем условие  и найдем частное решение дифференциального уравнения:

.

Мы нашли определенное значение произвольной постоянной  и можем записать соответствующее искомое частное решение дифференциального уравнения:

.

Мы рассмотрели абстрактные примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Теперь обратимся к уравнениям, описывающим реальную действительность. Уже отмечалось, что протекающие в окружающем нас мире процессы многогранны. Их описание часто является сложной задачей. Для облегчения решения таких задач применяют модели – упрощения реальных объектов, процессов, явлений. Подробнее о моделировании биофизических процессов см. [Антонов В.Ф., Черныш А.М. Физика и биофизика: Учебник / Антонов В.Ф., Черныш А.М., Козлова Е.К., Коржуев А.В. – ГЭОТАР-Медиа, 2008.], [Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика: Учеб. для мед. спец. Вузов. – М.: Высш. Школа, 1999.]. Здесь же мы рассмотрим решение наиболее простых дифференциальных уравнений, описывающих некоторые процессы, происходящие в биологических системах.

Пример 3. Модель изменения численности популяции (модель Мальтуса).

Кратко опишем модель.

Реальная система: некоторая популяция одного вида (микроорганизмы, зайцы и т.п.), в которой происходят жизненные процессы во всем их многообразии.

Задача: найти закон изменения численности популяции с течением времени, если в начальный момент времени численность популяция составляет .

Допущения:

1) пусть существуют только процессы размножения и естественной гибели членов популяции, и скорости этих процессов пропорциональны численности особей в данный момент времени;

2) не будем учитывать результаты биохимических и физиологических процессов;

3) не учитываем внутривидовую борьбу, то есть борьбу между особями популяции за место обитания, за пищу, за партнера и пр.;

4) рассматриваем только одну популяцию, то есть не учитываем межвидовую борьбу, нет хищников.

Введем следующие обозначения:

 – численность популяции в данный момент времени ,

 – коэффициент размножения,

 – прирост численности популяции ко времени ,

 – коэффициент естественной гибели,

 – естественная убыль популяции ко времени ,

 – коэффициент изменения численности популяции,

 – скорость изменения численности популяции.

Составим уравнение баланса:

.

Получили обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. В правой части вынесем  за скобки и, с учетом , запишем:

.

Разделим переменные в этом уравнении и решим его:

.

Мы получили общее решение данного дифференциального уравнения. Теперь найдем частное решение нашего уравнения. Для этого, используя условие, что в начальный момент времени численность популяции составляла  особей, определим значение произвольной постоянной :

.

Окончательно получаем:

.

Анализ полученного уравнения, его графическое представление, границы применимости модели Мальтуса будут рассмотрены на практических занятиях.

Пример 4. Модель изменения численности популяции с учетом внутривидовой конкуренции (модель Ферхюльста).

Данная модель отличается от модели Мальтуса отсутствием 3-го допущения, то есть учитывает внутривидовую борьбу. Соответственно в обозначениях при описании модели появится еще одна величина. Это убыль популяции за счет конкуренции между особями, которая пропорциональна вероятности встречи двух особей,  (см. пример 2). Тогда уравнение баланса примет вид:

или .

Разделим переменные:

.

Для решения проинтегрируем полученное уравнение:

.

В левой части равенства стоит интеграл рациональной дроби. Найдем его отдельно (см. п. 3.5). Представим подынтегральную дробь в виде суммы рациональных дробей:

.

Найдем коэффициенты  и :

;

.

С учетом найденных коэффициентов запишем интегральное равенство:

Теперь найдем полученные интегралы:

В решении сняты знаки модуля, так как численность популяции не может быть отрицательной. Если из последней формулы выразить , то получим общее решение исходного дифференциального уравнения. Для того, чтобы найти частное решение, нужно определить значение произвольной постоянной . Для этого используем условие, что в начальный момент времени  численность популяции составляла  особей:

.

Получили частное решение дифференциального уравнения. Эта формула является законом изменения численности популяции в условиях, обозначенных в задаче.

Анализ полученного уравнения, его графическое представление, границы применимости модели Ферхюльста будут рассмотрены на практических занятиях.

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения можно поступить иначе, если известны конкретные значения аргумента и соответствующие им значения рассматриваемой функции. Тогда можно вычислить определенный интеграл с использованием этих условий, и сразу выразить искомую функцию, которая и будет являться частным решением дифференциального уравнения. В нашей задаче к указанным конкретным значениям можно отнести знание величины численности популяции  в начальный момент времени , то есть . Вернемся к интегральному уравнению после замены его левой части двумя дробями и найдем определенный интеграл, используя данные о рассматриваемой системе в начальный момент времени:

.

Подставим пределы интегрирования и выразим функцию . Снимем знаки модуля, так как численность популяции не может быть отрицательной:

Получили формулу, такую же, как и в рассуждениях выше. Если выразим из нее , то получим закон, описывающий модель Ферхюльста.

Пример 5. Модель изменения массы лекарственного препарата в крови человека при инъекции, инфузии и комбинированном введении вещества (фармакокинетическая модель).

В рамках этой модели рассмотрим три случая, соответствующие различным способам введения лекарственного препарата в кровь: однократное введение лекарственного препарата – инъекция (что соответствует случаю, когда пациенту сделали только укол), непрерывное введение препарата с постоянной скоростью – инфузия (это соответствует случаю, когда пациенту поставили только капельницу) и сочетание инъекции и инфузии (когда пациенту сделали укол и одновременно поставили капельницу).

Упрощая процессы, протекающие в организме человека при введении лекарственного препарата, сделаем следующие допущения:

1) не будем рассматривать систему органов, через которые последовательно проходит лекарство. Исключим многостадийность процессов ввода, переноса, вывода лекарственного вещества;

2) не будем учитывать молекулярные механизмы процессов такие, как проницаемость вещества, химические превращения и пр.;

3) процессы ввода лекарственного препарата в кровь и вывода его из крови сведем к скорости поступления препарата в кровь и скорости его выхода из крови. Учтем, что скорость выведения препарата из крови пропорциональна его массе в крови в данный момент времени.

4) будем считать процесс инъекции мгновенным, то есть в момент времени в крови появляется масса препарата .

Для описания модели введем следующие обозначения:

 – скорость ввода лекарственного препарата в кровь;

 – массе препарата в крови в данный момент времени ;

 – скорость вывода препарата из крови (в соответствии с п. 3 сделанных допущений пропорциональна массе препарата в крови в данный момент времени,  – коэффициент пропорциональности);

 – скорость изменения массы лекарственного препарата в крови с течением времени.

Составим уравнение баланса:

.

Это общее уравнение. Рассматривая перечисленные случаи, мы будем накладывать на него некоторые условия и получать уравнение для конкретного случая. Перед слагаемым  стоит знак минус, что означает убыль препарата в крови.

1) Инъекция. Считаем, что лекарственный препарат вводится однократно мгновенно. Следовательно, скорость ввода препарата равна нулю . Тогда из общего уравнения получаем:

.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решим его.

.

Получили общее решение дифференциального уравнения. Найдем частное решение, полагая, что в начальный момент времени  масса лекарственного препарата в крови равна , то есть :

.

Эта функция есть частное решение дифференциального уравнения. Она представляет собой закон, описывающий изменение массы лекарственного препарата в крови при инъекции в соответствии с заданной моделью.

Можно получить этот же закон, решая определенные интегралы в левой и правой частях уравнения с учетом начального условия . Покажем это:

Анализ полученного уравнения, его графическое представление, границы применимости модели будут рассмотрены на практических занятиях.

2) Инфузия. В этом случае в начальный момент времени лекарственного препарата в крови нет , он вводится постепенно с постоянной скоростью . Параллельно отработанный препарат выводится из крови. Тогда общее дифференциальное уравнение фармакокинетической модели сохраняет свой вид. Решим его:

Получили общее решение дифференциального уравнения. Найдем частное решение, полагая, что в начальный момент времени  масса лекарственного препарата в крови равна нулю, то есть :

.

Подставим значение  в общее решение:

.

Эта функция есть частное решение дифференциального уравнения. Она представляет собой закон, описывающий изменение массы лекарственного препарата в крови при инфузии в соответствии с заданной моделью.

Можно получить этот же закон, решая определенные интегралы в левой и правой частях уравнения с учетом начального условия . Покажем это:

Анализ полученного уравнения, его графическое представление, границы применимости модели будут рассмотрены на практических занятиях.

3) Сочетание инъекции и инфузии. В этом случае в начальный момент времени в кровь пациента мгновенно вводится некоторая масса лекарственного препарата , полученная порция сразу же начинает выводиться из крови и параллельно через капельницу в кровь добавляют лекарство. Общий вид дифференциального уравнения, описывающего модель сохраняется, но меняются начальные условия. Теперь , присутствует . Решим уравнение в данном случае:

Получили общее решение дифференциального уравнения. Найдем частное решение, полагая, что в начальный момент времени  масса лекарственного препарата в крови равна нулю, то есть :

               .

Подставим значение  в общее решение:

Эта функция есть частное решение дифференциального уравнения. Она представляет собой закон, описывающий изменение массы лекарственного препарата в крови при сочетании инъекции и инфузии в соответствии с заданной моделью.

Можно получить этот же закон, решая определенные интегралы в левой и правой частях уравнения с учетом начального условия ,  присутствует. Покажем это:

.

Анализ полученного уравнения, его графическое представление, границы применимости модели будут рассмотрены на практических занятиях.

 

4.3. Задания для самостоятельного решения

 

I. Найдите общие и частные решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными:

1) , если	2) , если
3) , если	4) , если
5)  если	6) ,
7)	8)
9) , если	10) , если
11) , если	12) ,
13) , если	14) , если
15) , если	16) , если

 

II. Составьте дифференциальное уравнение для решения задачи, найдите его общее и частное решения и проанализируйте полученные результаты.

1) Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. До какой температуры охладится тело за 30 минут, если за 10 минут оно охладилось от С до С? Температура окружающей среды поддерживается постоянной и равна .

2) Уменьшение интенсивности света при прохождении через поглощающее вещество пропорционально интенсивности падающего света и толщине поглощающего слоя. Найдите закон убывания интенсивности света, если известно, что при прохождении слоя м интенсивность света убывает в два раза.

3) Найдите закон убывания массы лекарственного препарата в организме человека после инъекции, если через 1 час после введения 10 мг препарата его масса в организме человека уменьшилась вдвое. Какое количество препарата останется в организме через 2 часа.

4) Найдите закон изменения концентрации лекарственного препарата в крове человека после инфузии. Какова будет концентрация препарата в крови через 20 минут, после того, как поставили капельницу, если через 10 минут его концентрация была,,,??? Определите максимальную концентрацию препарата в крови, учитывая, что вместе с тем, что лекарство поступает в организм человека, оно параллельно выводится из крови.

 

Литература

 

1. Антонов В.Ф., Черныш А.М. Физика и биофизика: Учебник / Антонов В.Ф., Черныш А.М., Козлова Е.К., Коржуев А.В. – М: ГЭОТАР-Медиа, 2009. – 480 с.

2. Баврин И.И. Высшая математика для химиков, биологов и медиков: Учебник и практикум / И.И. Баврин. – 2-е изд., испр. и доп. – Электрон. дан. – Москва: Издательство Юрайт, 2019. – 398 с. – Режим доступа: https://www.biblio-online.ru.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ: Астрель, 2008. – 991 с.

4. Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. 3 тома. – 13-е изд. перераб. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958.

5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко. – 7-е изд. – Москва: АСТ: Мир и Образование, 2016. – 815 с.

6. Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике / Я.Б. Зельдович. – 4-е изд., стер. – М.: Наука, 1968. – 576 с.

7. Краткий курс по высшей математике: учеб. пособ. / под ред. Ю.Н. Владимирова. – М.: Окей-книга, 2007. – 220 с.

8. Математика. Алгебра и элементарные функции: учеб. пособ. / Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н.; под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Агар, 1999. – 426 с.

9. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики: Учебник. – М.: Медицина, 1998. – 232 с.

10. Ремизов А.Н., Максина А.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике: учеб. пособ. для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2001. – 192 с.

11. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика: Учеб. для мед. спец. Вузов. – 3-е изд. испр. М.: Высш. Школа, 1999. – 616 с.

12. Шипачев В.С. Высшая математика: полный курс: учебник для академического бакалавриата: рекомендовано Учебно-методическим отделом высшего образования в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по всем направлениям и специальностям / В.С. Шипачев; под ред. акад. А.Н. Тихонова; Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд., испр. и доп. – Москва: Юрайт, 2015. – 607 с.

13. Наша методичка по погрешностям?

Возможно, стоит что-то убрать, чтобы литература умещалась на одной странице или, наоборот, добавить, чтобы была на двух.

Учебное издание

Манина Елена Анатольевна

Шадрин Геннадий Анатольевич