Понятие о дифференциальных уравнениях

Все закономерности, протекающие в окружающем нас мире, люди стараются описывать математически, анализировать и далее использовать полученные выводы. Так, отмечено, что в соответствии с простейшей версией закона размножения бактерий, скорость размножения пропорциональна количеству бактерий в данный момент времени. Если это количество обозначить через , то в соответствии с физическим смыслом производной скорость размножения бактерий (увеличения их количества со временем) представляет собой производную  и на основании упомянутого закона можно записать, вводя коэффициент пропорциональности, соотношение:

.

Полученное уравнение не является алгебраическим, так как содержит не только неизвестную функцию , но и её производную первого порядка. Подобных примеров множество. Также много и описывающих их уравнений, отличительной особенностью которых является содержание в уравнении производных одной или нескольких функций.

Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее производные одной или нескольких неизвестных функций. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным, а если от нескольких переменных, то дифференциальным уравнением с частными производными. Будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения. Такое уравнение содержит независимую переменную , неизвестную функцию , и ее производные любых порядков , , , …,  и имеет вид:

,

где  – заданная функция своих аргументов.

В ряде случаев дифференциальное уравнение может не содержать переменную или саму функцию, естественно не содержит всех производных функции, но наличие хотя бы одной производной какого-либо порядка в дифференциальном уравнении является обязательным.

Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок входящей в него производной. Так, дифференциальные уравнения  и  – представляют собой уравнения первого порядка, а уравнение  – уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называют функцию , которая обращает уравнение в верное тождество. Задачей при решении дифференциальных уравнений является нахождение всех таких функций. В простейших случаях эта задача сводится к решению интеграла.

Например, для уравнения  функция  является решением. Действительно:

 – верное тождество.

Также решениями указанного уравнения могут быть функции , , . А вот функции ,  решениями этого не являются. Убедитесь в этом самостоятельно.

Общим решением дифференциального уравнения называют функцию, удовлетворяющую двум условиям: во-первых, эта функция при подстановке ее в уравнение должна обращать его в тождество; во-вторых, количество произвольных постоянных в этой функции должно быть равным порядку данного уравнения.

Например, функция , где С – произвольная постоянная, является общим решением дифференциального уравнения , поскольку при подстановке в это уравнение обращает его в тождество:  и содержит одну произвольную постоянную, что соответствует порядку дифференциального уравнения.

Любую функцию, удовлетворяющую данному уравнению, но не содержащую произвольных постоянных, называют его частным решением.

Например, функция  является частным решением дифференциального уравнения , поскольку при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. Однако, данная функция не является общим решением этого уравнения, так как не содержит произвольной постоянной. Частные решения дифференциального уравнения могут быть получены из его общего решения путем придания конкретных значений его произвольным постоянным.

Например, если произвольной постоянной С, входящей в состав общего решения  дифференциального уравнения , придавать последовательно значения +1, -1 и +3, получим соответственно функции , , , являющиеся частными решениями этого уравнения.

Существует много видов дифференциальных уравнений. Мы рассмотрим один из них, наиболее часто встречающийся при описании процессов, протекающих в живой природе.