Кафедра экспериментальной физики

Кафедра экспериментальной физики

Манина Е.А., Шадрин Г.А.

МАТЕМАТИКА ДЛЯ МЕДИЦИНСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Учебно-методическое пособие

Сургут

Издательский центр СурГУ

2019

УДК 517 + 53

ББК 22.161.1 + 22.3

М 471

 

 

Печатается по решению

редакционно-издательского совета СурГУ

 

Рецензент

к.п.н., доцент Саркисян Т.А.

 

 

Манина Е. А.

М471 Математика для медицинских специальностей: учеб.-метод. пособие / Е.А. Манина, Г.А. Шадрин; Сургут. гос. ун-т. – Сургут: ИЦ СурГУ, 2019.

 

Учебно-методическое пособие содержит теоретический материал и указания к выполнению практических заданий по математике.

Пособие предназначено для студентов медицинского института, обучающихся по направлениям 31.05.01 «Лечебное дело», 31.05.02 «Педиатрия» и изучающих дисциплину «Физика, математика».

УДК 517 + 53

ББК 22.161.1 + 22.3

 

© Е.А. Манина, Г.А. Шадрин, 2019

© БУ ВО «Сургутский государственный университет», 2019

СОДЕРЖАНИЕ

		Стр.
Введение
§ 1. Производная функции одной переменной
1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
1.2. Понятия производной и дифференциала функции
1.3. Производные элементарных функций и правила нахождения производных
1.4. Производные высших порядков
1.5. Задания для самостоятельного решения
§ 2. Частные производные функции нескольких переменных
2.1. Понятие о частных производных функции нескольких переменных
2.2. Использование частных производных для нахождения абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений
2.3. Задания для самостоятельного решения
§ 3. Неопределенный интеграл. Некоторые методы решения неопределенных интегралов
3.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл
3.2. Метод непосредственного интегрирования
3.3. Метод замены переменной или метод подстановки
3.4. Решение интеграла по частям
3.5. Интегрирование рациональных дробей
3.6. Задания для самостоятельного решения
§ 4. Дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
4.1. Понятие о дифференциальных уравнениях
4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
4.3. Задания для самостоятельного решения

 

ВВЕДЕНИЕ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Производные высших порядков

Пусть функция  определена на некотором интервале (a, b), и пусть в каждой точке этого интервала она имеет производную . Эту производную называют первой производной или производной первого порядка для данной функции. Эта производная сама может являться функцией , определенной на интервале (a, b). Если функция  имеет на этом интервале производную в точке , то эту производную называют второй производной или производной второго порядка для функции  и обозначают . Аналогично эта производная может являться функцией , определенной на интервале (a, b). Если и она имеет на интервале (a, b) в точке  производную, то эту производную называют третьей производной или производной третьего порядка для функции  и обозначают . Такие же рассуждения можно провести для производной любого порядка.

В общем случае n-ой производной функции или производной n-го порядка в точке  называют производную от производной (n-1)-го порядка в этой точке:

.

Производные порядков выше первого называют производными высших порядков. Порядок таких производных указывают в круглых скобках, чтобы не путать их со степенями функций. Производные высших порядков можно обозначать и через дифференциалы. Например,  или  – производная второго порядка функции ;  или  – третья производная функции .

Рассмотрим примеры нахождения производных высших порядков.

Пример 1. . Найдем все возможные производные высших порядков для этой функции.

Видим, что эта функция имеет ненулевые производные для первых трех порядков, а производные 4-го и более высоких порядков будут равны нулю.

Пример 2. . Найдем 100-ю производную этой функции.

Заметим, что выражения найденных производных имеют схожие элементы, и можно записать общую формулу для определения производной n-го порядка:

.

Тогда сотая производная исходной функции будет равна:

.

Но так красиво бывает далеко не всегда. Довольно часто функция, являющаяся производной очередного порядка, становится более сложной чем та, от которой эту производную нашли.

Пример 3. . Найдем несколько первых производных этой функции.

Как видим, производные более высоких порядков этой функции становятся все более сложными.

 

1.5. Задания для самостоятельного решения

I. Найдите производные функции одной переменной

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)
13)	14)
15)	16)
17)	18)
19)	20)
21)	22)
23)	24)
25)	26)
27)	28)
29)	30)

 

II. Найдите дифференциалы функций одной переменной

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

 

III. Найдите приближенное значение функции  в точке , если известно, что:

1) ,	,
2) ,	,
3) ,	,

IV. Найдите приближенно числовое значение функции  при заданном аргументе , если известно, что:

1) ,
2) ,
3) ,

 

V. Найдите производные указанных порядков для приведенных функций:

1)	Найти	2)	Найти
3)	Найти	4)	Найти
5)	Найти	6)	Найти
7)	Найти	8)	Найти

 

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 

Нескольких переменных

Мы уже отмечали, что реальные процессы сложны и многогранны. На их протекание влияет множество факторов, что при математическом описании отражается в зависимости функции от нескольких переменных. Но нельзя изучать влияние на функцию всех переменных одновременно. Это делают поочередно, рассматривая, как изменяется результат (функция) при изменении одного фактора (одной переменной), затем другого фактора (следующей переменной) и т.д. Одновременное же изучение зависимости функции от нескольких факторов может дать неверный результат, так как одни факторы могут усиливать друг друга, другие ослаблять или компенсировать. Поэтому и возникает задача изучения быстроты изменения результата (функции) от каждого конкретного, влияющего на нее фактора (переменной).

Нахождение изменения функции в частности от данной, конкретной переменной – по сути и есть вычисление частной производной.

Частной производной функции  по аргументу  называют предел отношения  при стремлении приращения  к нулю и записывают:

.

Аналогично дают определение частной производной функции по любому другому ее аргументу, например, по :

.

Обращаем внимание на то, что при вычислении частной производной функции по какому-либо ее аргументу, все остальные аргументы считают постоянными величинами. Фактически частную производную ищут как обыкновенную производную функции одной переменной, полагая остальные переменные константами.

Выражения , ,  не воспринимают как отношение дифференциалов, их рассматривают как неразрывные символы частных производных.

Рассмотрим примеры нахождения частных производных функций. Будем помнить, что те аргументы, по которым в данном случае не ищем производную, считаем константами. А все постоянные величины можно выносить за знак производной. Поэтому для того, чтобы было проще решать, сначала будем выносить все константы за знак производной, а затем искать производную от оставшегося выражения.

Пример 1. . Найдите частные производные функции  по всем ее переменным.

Отметим, что второе слагаемое функции  не содержит переменной , по которой ищем частную производную, его сомножители  сейчас считаем константами, а производная постоянной величины равна нулю.

 

Напомним, что производную от  можно найти двумя способами:

а) представить ее как степенную функцию, стоящую в числителе ;

б) найти производную этой функции по правилу для производной частного:

.

Как видим, результаты получаются одинаковые.

Пример 2. . Найдите частные производные функции  по всем ее переменным.

Пример 3. . Найдите частные производные функции  по всем ее переменным.

Так же, как и для функций одной переменной, для функций, зависящих от нескольких переменных, можно искать производные высших порядков.

Рассмотрим это на примере функции двух переменных.

Частными производными второго порядка или вторыми частными производными функции  называют частные производные от частных производных этой функции первого порядка.

Частные производные высших порядков, взятые только по одной переменной, называют чистыми производными, а те, что берут по разным переменным, называют смешанными производными.

Частные производные второго порядка функции двух переменных обозначают так:

 – вторая частная производная функции  по переменной , то есть сначала взяли первую частную производную функции  по переменной , а затем взяли частную производную по переменной  от полученной первой частной производной функции по переменной ; запись  читают так «дэ два у по дэ икс дважды»; обращаем внимание, что в этой записи цифры 2 означают порядок производной (вверху) и сколько раз взята производная данной функции по переменной  (внизу);

 – вторая частная производная функции  по переменной ;

 – вторая смешанная производная функции  по переменным  и , то есть сначала взяли первую частную производную функции  по переменной , а затем от полученной производной взяли частную производную по переменной ; запись  читают так «дэ два у по дэ икс дэ игрек»;

 – вторая смешанная производная функции  по переменным  и , то есть сначала взяли первую частную производную функции  по переменной , а затем от полученной производной взяли частную производную по переменной ; запись  читают так «дэ два у по дэ икс дэ игрек».

Как видим, вторые смешанные производные отличаются друг от друга порядком дифференцирования.

Отметим, что существует теорема о том, что, если вторые смешанные производные функции двух переменных существуют и непрерывны в точке дифференцирования, то они равны между собой.

Покажем вычисление вторых производных функции двух переменных на примере.

Пример 1. . Найдем вторые частные производные этой функции. Для этого сначала найдем ее первые частные производные.

Теперь найдем вторые частные производные функции. Сначала дважды по :

Теперь дважды по :

А теперь найдем смешанные производные второго порядка. Сначала по  по :

Найдем смешанную производную второго порядка по  и по :

Видим, что смешанные производные второго порядка равны.

Пример 2. . Найти для указанной функции все частные производные второго порядка.

Найдем частные производные первого порядка.

Найдем частные производные второго порядка.

Видим, что смешанные производные второго порядка равны.

Можно искать частные производные функций и более высоких порядков. Аналогично рассмотренному выше находят частные производные функций, зависящих от трех и более аргументов.

 

Решение интеграла по частям

Метод интегрирования по частям вытекает из правил дифференцирования и свойств неопределенных интегралов.

Возьмем произведение двух функций  и найдем дифференциал этого произведения:

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

Используя свойство 2 неопределенных интегралов, имеем . Тогда получим:

Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.

Суть метода интегрирования по частям заключается в том, что часть подынтегрального выражения, не содержащую дифференциал переменной, обозначают через функцию  . Тогда оставшаяся часть подынтегрального выражения, в которую входит дифференциал переменной, будет  . Согласно формуле интегрирования по частям, еще потребуется найти функцию   и дифференциал  . После чего все величины подставляют, приравнивая исходный интеграл к правой части указанной формулы. При удачном выборе функции  и  интеграл в правой части упрощается и его можно привести к табличному виду одним из описанных выше способов. Но бывают случаи, когда новый записанный интеграл правой части формулы требуется еще раз взять по частям или применить другой метод интегрирования.

Рассмотрим примеры интегрирования по частям.

Пример 1.

Введем обозначения функции  и  найдем соответственно  и , после чего воспользуемся формулой интегрирования по частям. При отыскании функции  следует каждый раз осуществлять проверку, находя дифференциал от подобранной функции и сравнивая его с .

.

После применения формулы интегрирования по частям получили интеграл более сложный, чем исходный. Это значит, что наша замена была неудачной. Не целесообразно степенную функцию (у нас это ) вводить в часть выражения, содержащую дифференциал , так как после отыскания функции  показатель степенной функции увеличится.

Введем другую замену:

 

.

Пример 2.

.

Замена опять проведена неудачно. Опять увеличился показатель степенной функции, но, кроме этого, под интегралом осталась тригонометрическая функция. Функция  сменилась на ковариантную ей функцию  . Работая с функциями  ,  ,  нужно смотреть, в сочетании с какими функциями они стоят в исходном интеграле, и какие замены целесообразно проводить.

Введем другую замену:

 

Пример 3.

Видим, что подынтегральное выражение упростилось (понизился показатель степенной функции). Чтобы совсем вывести степенную функцию из под интеграла, решим новый интеграл также по частям:

Пример 4.

Пример 5.

Видим, что в этом примере под интегралом стоят функции   и  , и какую бы из них мы не обозначали через  , под интегралом останется  и появится  . Тем не менее осуществим замену:

.

Теперь полученный интеграл также по частям с теми же заменами:

.

Объедим исходный интеграл и полученный результат:

.

Заметим, что в левой и правой частях этого равенства стоят одинаковые интегралы. Перенесем их в одну часть и сложим, как подобные слагаемые:

.

Таким образом, не имея возможности вычислить исходный интеграл, мы сумели найти, чему он будет равен.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Учебно-методическое пособие

 

 

Редактор

Верстка

 

 

Подписано в печать 00.00.2019 г. Формат 60×84/16.

Усл. печ. л.3,5. Уч.-изд. л. 2,8. Тираж 90. Заказ № 00.

 

 

Оригинал-макет подготовлен и отпечатан

в издательском центре СурГУ.

Тел. [phone], 76-30-66.

[phone]

 

БУ ВО «Сургутский государственный университет»

628400, Россия, Ханты-Мансийский автономный округ,

г. Сургут, пр. Ленина, 1.

Тел. [phone], факс [phone].

Кафедра экспериментальной физики

Манина Е.А., Шадрин Г.А.