Свойства случайных погрешностей

   Случайными погрешностями называют такие погрешности, размер и характер влияния которых на каждый отдельный результат измерения остается неизвестным. Величину и знак случайных погрешностей заранее установить нельзя. Они неизбежны и сопровождают каждое измерение, так как измерение мы проводим только с такой точностью, которую можно достичь применяемыми при этом приборами.

 Избавить результаты измерений от случайных погрешностей полностью нельзя. Но на основании изучения их свойств можно вывести правила, как из ряда измерений получить наиболее надежные результаты и оценивать их точность.

 

   Свойства случайных погрешностей.

Случайные погрешности можно определить как разность между измеренными и истинными значениями одной и той же величины. На основании теоретического и практического изучения многих рядов случайных погрешностей выведены их общие свойства:

   1. При данных условиях случайные погрешности не могут превышать определенного предела.

   2. Одинаковые по абсолютной величине положительные и отрицательные погрешности равновозможны.

   3. Меньшие по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.   

   4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей равноточных измерений одной и той же величины имеет тенденцию стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений.

       

 

25. Равноточные измерения. Принцип арифметической середины

   Пусть произведены равноточные измерения l₁, l₂, …,  l_n одной и той же величины, истинное значение которой Х.     Тогда можно вычислить n значений случайных погрешностей:

 

                                                Δ₁ = l₁ – X;

 

                                                Δ₂ = l₂ – X;                                               (4.1)

 

                                                 ………….                                        

 

                                                 Δ_n = l_n – X.

 

   Складывая левые и правые части этих равенств, получим

 

                       Δ₁ + Δ₂ +…+ Δ_n = l₁ +  l₂ +…+ l_n – nX.                            (4.2)                  

 

   В теории погрешности принято обозначать сумму величин через квадратные скобки, например:

 

Δ₁ + Δ₂ + … + Δ_n = [Δ]; l₁ + l₂ + … + l_n = [l] и т. д.

 

   При этих обозначениях равенство (4.2) примет вид

 

                             [Δ] = [l] – nX, откуда     X = [l] / n – [Δ] / n.               (4.3)

 

   Согласно четвертому свойству случайных погрешностей величина  [Δ] / n     в равенстве (4.3) при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Следовательно, величина [l] / n  при этих условиях будет приближаться к истинному значению Х.   

На основании этого арифметическую середину (среднее арифметическое из результатов измерений) принято считать наиболее надежным или вероятнейшим результатом из равноточных измерений одной и той же величины при любом числе измерений.

 

                            L = [l] / n = (l₁ + l₂ + l₃ + … + l_n) / n.                          (4.4)

 

        Средняя квадратическая погрешность одного измерения.

            Формулы Гаусса и Бесселя

   В теории погрешностей точность измерений характеризуется средней квадратической погрешностью, которая была введена знаменитым немецким математиком и геодезистом К. Ф. Гауссом (1777–1855 гг.)  и обозначается через m:

                                ______________________   ______

                   m = ± √ (Δ₁² + Δ₂² +.. + Δ_n²) / n = ± √ [Δ²] / n,                    (4.5)

 

где Δ₁, Δ₂, …, Δ_n – случайные погрешности;

 n – число измерений. 

   Средняя квадратическая погрешность является надежным критерием для оценки точности измерений. Она даже при небольшом числе измерений достаточно устойчива и хорошо отражает наличие крупных случайных ошибок, которые по существу и определяют качество измерений.

   Формула (4.5) применена для вычисления средней квадратической погрешности, когда известно истинное значение измеряемой величины.

 Эти случаи в практике весьма редки. Как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно, но из измерений можно получить наиболее надежный результат – арифметическую середину. Получим формулу для вычисления средней квадратической погрешности при помощи уклонения отдельных результатов от арифметической середины по так называемым вероятнейшим погрешностям V.

   Пусть l₁, l₂, …, l_n – результаты равноточных измерений одной и той же величины, истинное значение которой Х, а арифметическая середина – L. Тогда можно вычислить n случайных или истинных погрешностей

 

                                               Δ_i = l_i – X                                                    (4.6)

и n вероятнейших погрешностей

 

                                               V_i = l_i – L.                                                  (4.7)

 

Сумма n равенству (4.7)

                                             [V] = [l] – nL.                                              (4.8)

 

Но, согласно равенству (4.4) nL = [l], поэтому

 

                                                    [V] = 0,                                                    (4.9) 

 

т. е. сумма вероятнейших погрешностей всегда должна быть равна нулю.             

Вычитая из равенства (4.6) равенство (4.7), получим

 

                                             Δ_i – V_i  = L – X.                                         (4.10)

 

   В правой части равенству (4.10) мы имеем случайную погрешность арифметической середины. Обозначим ее через ε. Тогда

 

                                                Δi = V_i + ε.                                             (4.11)

 

  Возведем в квадрат равенство (4.11), возьмем  их сумму  и  разделим ее на n:

 

                               [Δ²] / n = [V²] / n + nε² / n + 2ε[V] / n.                         (4.12)

 

   Левая часть этого равенства есть не что иное как m². Последнее слагаемое правой части ввиду равенства (4.9) равно нулю.

 

                                            m² = [V²] / n + ε².                                       (4.13)

 

   Случайную погрешность ε заменим ее средним значением, т. е. средней квадратической погрешностью арифметической середины. Ниже будет доказано, что средняя квадратическая погрешность арифметической середины

                                        М ² = ε ² = m ²/ n.                                          (4.14)

 

Тогда

 

                       m ² – m² / n = [V ²] / n или m ²(n – 1) / n = [V ²] / n,

 

 откуда                                                                 ___________

                        m ² = [V ²] / (n – 1), или   m = √ [V ²] / (n – 1).           (4.15)

 

   Формула (4.15) называется формулой Бесселя и имеет большое практическое значение. Она позволяет вычислять среднюю квадратическую погрешность по вероятнейшим уклонениям результатов измерений от арифметической средины.