Оценка точности  в равноточных измерениях

Точность измерений - качество результата измерений, определяющее близость погреш. величины к точному значению, получение результата правильного при геодез. измерениях.

 

Точность результатов многократных измерений одной и той же величины

оценивают в такой последовательности. Находят вероятнейшее значение

измеренной величины по формуле арифметической средины. Вычисляют отклонения      каждого значения измеренной величины от значения

арифметической средины.

По формуле Бесселя вычисляют среднюю квадратическую ошибку одного

измерения. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошубку арифмет

средины. Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную

ошибку каждого измерения и арифметической средины. При необходимости

подсчитывают предельную ошибку одного измерения, которая может служить

допустимым значением ошибок аналогичных измерений.

                                     

                            m = √ [V ²] / (n – 1).

где V- вероятнейшая погрешность,          

   N – число измерений

 

   Формула называется формулой Бесселя и имеет большое практическое значение. Она позволяет вычислять среднюю квадратическую погрешность по вероятнейшим уклонениям результатов измерений от арифметической средины.

 

В практике геод. работ часто возникает необходимость найти среднюю

квадратическую ошибку функции, если известны средние квадратические ошибки её аргументов, и наоборот.

Рассмотрим функцию общего вида F= f (x y z …. U)

дге x y z – независимые аргументы, полученные из наблюдений или проектного

расчета со средними квадратическими ошибками mx my mz соответственно. Из

теории ошибок измерений известно что средняя квадратическая ошибка функции

независимых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов

произведений частных производных функций по каждому из аргументов на

средние квадратические ошибки соответствующих аргументов.

 

       

 

 

28. Средняя квадратическая  погрешность функции измерения величин

   В геодезии часто нужно определить точность не только самих измеренных величин, но и их функций. Например, горизонтальное проложение линии является функцией наклонности расстояния и угла наклона, площадь определяемая планиметром является функцией отсчетов по планиметру и т. д. Поэтому важно уметь вычислять средние квадратические погрешности функций.

       Рассмотрим некоторые виды функций.

   1   Функция суммы двух аргументов

 

                                              φ = Х + Y,                                                     (4.19)

 

где Х  и Y – независимо измеренные величины.

   Допустим, что каждая из этих величин измерялась n раз и каждое из измерений сопровождалось случайными погрешностями Δ_Х и Δ_Y. Тогда и функция φ, вычисленная по формуле (4.19), будет иметь погрешность Δ_φ:

                                                             

                  φ + Δ_φ = (X + Δ_X) + (Y + Δ_Y) или  Δ_φ = Δ_Х + Δ_Y.                      (4.20)

 

Возведем равенство (4.20) в квадрат:

                                    Δ  = Δ  + Δ  + 2Δ_X Δ_Y.                                  (4.21)

   Таких равенств может быть получено n. Сложив их и разделив на n, получим

                   [Δ ] / n = [Δ ] / n + [Δ ] / n + 2[Δ_XΔ_Y] / n.                   (4.22)

   На основании четвертого свойства случайных погрешностей величина [Δ_X Δ_Y] как сумма случайных погрешностей будет стремиться к нулю. Тогда с учетом равенства (4.5) будем иметь:      m = m + m .                                          (4.23)

   Нетрудно убедиться, что формула (4.23) будет верна и для функции

 

                                               φ = X –Y.                                                 (4.24)

 

   Аналогично предыдущему можно доказать, что для функции суммы (разности) нескольких аргументов

 

                                  φ = ±Х ± Y ± Z ± … ± U.                                        (4.25)

 

   Квадрат средней квадратической погрешности этой функции будет равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей аргументов:

                             m  = m + m + m +…+ m .                                 (4.26)

   Если m_X = m_Y = m_Z = …=m_U, а число измеренных величин X, Y, Z, …, U равно n, то                                                     

                               m  = nm² или m_φ = m√ n,                                 (4.27)

т. е. средняя квадратическая погрешность суммы равноточно измеренных величин в √n раз больше средней квадратической погрешности отдельного измерения.

       

 

   2  Функция   линейного вида

φ = КХ,

 

где К – постоянное число;

Х – аргумент, полученный из измерений.

Если Х будет измерен со случайной погрешностью Δ_Х, то функция будет иметь случайную погрешность

 

                                               Δ_φ = К Δ_X.                                               (4.29)

 

   Измерив аргумент n раз, можно составить n уравнений (4.29), взять сумму их квадратов и разделить на n. После чего получим

                      [Δ ] / n = K² [Δ ] / n или m  = K² m ,                           (4.30)

откуда

 

                                               m_φ = K m_X.                                                      (4.31)

 

   Аналогично предыдущему можно показать, что для функции

 

                                   φ = ± K₁X ± K₂Y ± … ± K_nU                               (4.32)

 

получим

 

                                Δ_φ = K₁Δ_X ± K₂Δ_Y ± … ± K_nΔ_U                              (4.33)

 

или

                         m = (K₁m_X)² + (K₂m_Y)² + … + (K_nm_U)².                          (4.34)

       

   3  Функция  общего вида

                                        φ = f (X, Y, Z, …,U),                                     (4.37)

 

где X, Y, Z, …,U – независимо измеренные величины.

   С учетом случайных погрешностей функция (4.37) примет вид

 

                   φ + Δ_φ = f (X + Δ_X; Y + Δ_Y; Z + Δ_Z; …; U + Δ_U).              (4.38)

 

   Разложив функцию (4.38) в ряд Тейлора и ограничившись только первыми степенями случайных погрешностей, получим функцию

 

             Δ_φ = (∂f/∂x) Δ_X + (∂f/∂y) Δ_Y + (∂f/∂z) Δ_Z + … + (∂f/∂u) Δ_U,    (4.39)

 

где (∂f/∂x), (∂f/∂y), …, (∂f/∂u) – частные производные, которые для функции

                                              (4.39) являются постоянными величинами.

   Как видно, функция (4.39) аналогична функции (4.33). Следовательно, квадрат ее средней квадратической погрешности

 

                        

         = (∂f/∂x ∙ m_X)² + (∂f/∂y ∙ m_Y)² + (∂f/∂z ∙ m_Z)² + … + (∂f/∂u ∙ m_U)².  (4.40)

 

 

   29.   Неравноточные  измерения

  30. Формула общей арифметической середины

На практике часто производятся и неравноточные измерения, которые выполнены в различных условиях или приборами различной точности, различным числом приемов. В этом случае уже нельзя ограничиваться простым арифметическим средним, здесь надо учитывать степень надежности каждого результата измерений.

   Степень надежности результата измерения, выраженная числом, называется весом этого измерения. Чем надежнее результат, тем больше его вес. Пусть имеем ряд средних значений: L₁, L₂, …, L_n – одной величины, полученных из Р₁, Р₂, …, Р_n отдельных измерений.

   Согласно формуле (4.4) произведение L_i P_i будет равно сумме отдельных измерений l_i в данном ряду, а сумма всех измерений во всех рядах будет равна L₁P₁ + L₂P₂ + … + L_n P_n. Число всех измерений будет равно          P₁ + P₂ +…+ P_n.

   Отсюда по правилу арифметической средины получим среднее значение из всех рядов измерений:

 

   L_o = (L₁P₁ + L₂P₂ + … + L_nP_n) / (P₁ + P₂ + … +P_n) = [LP] / [P].           (4.44)

 

 

   Выражение (4.44) называется    формулой весового среднего  или

  общей арифметической середины. Здесь число измерений Р₁, Р_2,…, Р_n в каждом ряду является весом средних результатов L₁, L₂, …, L_n, а сумма весов является весом общей арифметической средины L_o. Во всех случаях, когда известны результаты измерений и их веса, вероятнейшее значение измеренной величины вычисляют по формуле (4.44).

   Обозначим среднюю квадратическую погрешность одного измерения через μ, а средние квадратические погрешности величин L₁,L₂….L_n соответственно через m₁, m₂, …, m_n. Тогда, согласно равенству (4.36), можем написать, что  

                                 ___              __                    __

                  m₁ = μ / √ P₁; m₂ = μ / √ P₂; …; m_n = μ / √ P_n.                          (4.45)

 

   Если в формуле (4.45) принять P_i = 1, то μ = m_i. Отсюда следует, что μ является средней квадратической погрешностью измерения, вес которого равен единице или так называемой средней квадратической погрешности единицы веса.

   Из формул (4.45) получим:

                                        __       __                __

                          μ = m₁ √ P₁ = m₂ √ P₂ = … = m_n √ P_n,.                        (4.46)

 

   Из равенства (4.46) можно сделать вывод, что произведение всякой величины на корень квадратный из ее веса будет иметь вес, равный единице, что позволяет приводить неравноточные измерения к равноточным.

   Из формулы (4.45) можно получить также общее математическое выражение веса:                        P_i = μ² / m ,                                               (4.47)

 

т. е. вес измерения обратно пропорционален квадрату его средней квадратической погрешности. В частном случае,   когда μ² = 1,

 

                                            P_i = 1 / m .                                                (4.48)

   Для вывода средней квадратической погрешности единицы веса обозначим истинные случайные погрешности величин L₁, L₂, …, L_n через Δ₁, Δ₂, …, Δ_n. Тогда для ряда                                __    __           __

                                        L₁√ P₁;  L₂√ P₂; …;  L_n√ P_n

 

истинные погрешности будут

                                             __      __           ___

                                      Δ₁√ P₁;  Δ₂√ P₂; …;  Δ_n√ P_n.                          (4.49)

 

   Ряд (4.49) равноточный, так как согласно формулам (4.31) и (4.46) средние квадратические погрешности его составляющих

                                                      __

                                                m_i√ Pi = μ.    

   Для равноточных измерений погрешность μ можно получить по формуле Гаусса (4.5):                                ________

                                             μ = √ [PΔ²] / n.                                          (4.50)

 

   По аналогии с формулой (4.50) можем написать выражение средней квадратической погрешности единицы веса через вероятнейшие погрешности V_i величины L_i (уклонения величины L_i от весового среднего L_o):

                                                 ____________

                                        μ = √ [PV²] / (n – 1).                                      (4.51)

 

   Как видно, формулы (4.50) и (4.51) являются соответственно формулами Гаусса и Бесселя для неравноточных измерений.

   Для вывода средней квадратической погрешности М_о общей арифметической середины L_o с весом [Р] и средней квадратической погрешности единицы веса μ воспользуемся соотношением (4.46):  

                  ___                                    ____

     μ = М_о√ [Р],   откуда   М_о = μ / √ [Р].                                         (4.52)

 

   П р и м е р. Получены два результата измерения одной и той же линии и известны их средние квадратические погрешности:

 

                      L₁ = 175,46 м;  m₁ = ± 0,10 м; L₂ = 175,24 м;  m₂ = ± 0,20 м;

 

Определить вероятнейшее значение длины линии и его среднюю квадратическую погрешность.

   По формуле (4.48), принимая μ = 1, определим веса результатов измерений:

 

                     Р₁ = 1/m²₁ = 1/(0,10)² = 100; Р₂ = 1/m²₂ = 1/(0,20)² = 25.

 

Затем по формуле (4.44) и (4.52) находим вероятнейшее значение длины линии и его среднюю квадратическую погрешность:

 

   L_o = (L₁P₁ + L₂P₂) / (P₁ + P₂) = (175,46 ∙ 100 + 175,24∙25) / (100 + 25) = 175,42 м;

                                                            __     ___

                                         М_о = μ / √[Р] = 1/√125 ≈ 0,09 м.

Тогда вероятнейшее значение длины линии будет

 

                                           L_o = 175,42 м ± 0,09 м;

   29.   Неравноточные измерения

  30. Формула общей арифметической середины

   В предыдущих разделах были рассмотрены равноточные измерения. Однако на практике часто производятся и неравноточные измерения, которые выполнены в различных условиях или приборами различной точности, различным числом приемов. В этом случае уже нельзя ограничиваться простым арифметическим средним, здесь надо учитывать степень надежности каждого результата измерений.

   Степень надежности результата измерения, выраженная числом, называется весом этого измерения. Чем надежнее результат, тем больше его вес. Пусть имеем ряд средних значений: L₁, L₂, …, L_n – одной величины, полученных из Р₁, Р₂, …, Р_n отдельных измерений.

   Согласно формуле (4.4) произведение L_i P_i будет равно сумме отдельных измерений l_i в данном ряду, а сумма всех измерений во всех рядах будет равна L₁P₁ + L₂P₂ + … + L_n P_n. Число всех измерений будет равно     P₁ + P₂ +…+ P_n.

   Отсюда по правилу арифметической средины получим среднее значение из всех рядов измерений:

 

  L_o = (L₁P₁ + L₂P₂ + … + L_nP_n) / (P₁ + P₂ + … +P_n) = [LP] / [P].       (4.44)

 

 

   Выражение (4.44) называется формулой весового среднего  или

  общей арифметической середины. Здесь число измерений Р₁, Р_2,…, Р_n в каждом ряду является весом средних результатов L₁, L₂, …, L_n, а сумма весов является весом общей арифметической средины L_o. Во всех случаях, когда известны результаты измерений и их веса, вероятнейшее значение измеренной величины вычисляют по формуле (4.44).

   Обозначим среднюю квадратическую погрешность одного измерения через μ, а средние квадратические погрешности величин L₁,L₂….L_n соответственно через m₁, m₂, …, m_n. Тогда, согласно равенству (4.36), можем написать, что  

                                 ___              __                    __

                m₁ = μ / √ P₁; m₂ = μ / √ P₂; …; m_n = μ / √ P_n.                      (4.45)

 

   Если в формуле (4.45) принять P_i = 1, то μ = m_i. Отсюда следует, что μ является средней квадратической погрешностью измерения, вес которого равен единице или так называемой средней квадратической погрешности единицы веса.

   Из формул (4.45) получим:

                                        __       __                __

                          μ = m₁ √ P₁ = m₂ √ P₂ = … = m_n √ P_n,.                        (4.46)

 

   Из равенства (4.46) можно сделать вывод, что произведение всякой величины на корень квадратный из ее веса будет иметь вес, равный единице, что позволяет приводить неравноточные измерения к равноточным.

   Из формулы (4.45) можно получить также общее математическое выражение веса:                        P_i = μ² / m ,                                               (4.47)

 

т. е. вес измерения обратно пропорционален квадрату его средней квадратической погрешности. В частном случае, когда μ² = 1,

 

                                            P_i = 1 / m .                                                (4.48)

   Для вывода средней квадратической погрешности единицы веса обозначим истинные случайные погрешности величин L₁, L₂, …, L_n через Δ₁, Δ₂, …, Δ_n. Тогда для ряда                                __    __           __

                                        L₁√ P₁;  L₂√ P₂; …; L_n√ P_n

 

истинные погрешности будут

                                             __      __           ___

                                       Δ₁√ P₁; Δ₂√ P₂; …; Δ_n√ P_n.                          (4.49)

 

   Ряд (4.49) равноточный, так как согласно формулам (4.31) и (4.46) средние квадратические погрешности его составляющих

                                                      __

                                                m_i√ Pi = μ.    

   Для равноточных измерений погрешность μ можно получить по формуле Гаусса (4.5):                                ________

                                             μ = √ [PΔ²] / n.                                          (4.50)

 

   По аналогии с формулой (4.50) можем написать выражение средней квадратической погрешности единицы веса через вероятнейшие погрешности V_i величины L_i (уклонения величины L_i от весового среднего L_o):

                                                 ____________

                                        μ = √ [PV²] / (n – 1).                                      (4.51)

 

   Как видно, формулы (4.50) и (4.51) являются соответственно формулами Гаусса и Бесселя для неравноточных измерений.

   Для вывода средней квадратической погрешности М_о общей арифметической середины L_o с весом [Р] и средней квадратической погрешности единицы веса μ воспользуемся соотношением (4.46):  

                  ___                                    ____

     μ = М_о√ [Р], откуда   М_о = μ / √ [Р].                                             (4.52)

 

   П р и м е р. Получены два результата измерения одной и той же линии и известны их средние квадратические погрешности:

 

                      L₁ = 175,46 м;  m₁ = ± 0,10 м; L₂ = 175,24 м;  m₂ = ± 0,20 м;

 

Определить вероятнейшее значение длины линии и его среднюю квадратическую погрешность.

   По формуле (4.48), принимая μ = 1, определим веса результатов измерений:

 

                     Р₁ = 1/m²₁ = 1/(0,10)² = 100; Р₂ = 1/m²₂ = 1/(0,20)² = 25.

 

Затем по формуле (4.44) и (4.52) находим вероятнейшее значение длины линии и его среднюю квадратическую погрешность:

 

   L_o = (L₁P₁ + L₂P₂) / (P₁ + P₂) = (175,46 ∙ 100 + 175,24∙25) / (100 + 25) = 175,42 м;

                                                          __     ___

                                         М_о = μ / √[Р] = 1/√125 ≈ 0,09 м.

Тогда вероятнейшее значение длины линии будет

 

                                           L_o = 175,42 м ± 0,09 м;