Элементарные сведения из теории погрешностей.

Измерением какой-либо физической величины называется операция, в результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей ве­ли­чи­ны, принятой за единицу. Результаты всех измерений, как бы тщательно и на каком бы научном уровне они ни выполнялись, под­вержены некоторым погрешностям.

Теория ошибок - наука, занимающаяся изу­че­нием и оцен­кой погрешностей. Эти две ее функции позволяют исследователю определить, на­сколь­ко велики погрешности в его измерениях, и помогают уменьшить их, когда это необходимо. Ана­лиз погрешностей, или «ошибок», является существенной частью любого научного экспе­ри­мен­та, и поэтому теория ошибок занимает важное место в любом университетском курсе обу­че­ния экспериментальным наукам.

Типы ошибок.

Ошибки измерения принято подразделять на систематические и случайные. Систе­ма­ти­чес­кие ошибки вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном пов­торении измерений, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же изме­ри­тельных приборов, и поэтому они сохраняют свою величину и знак от измерения к измерению.

Случайные ошибки обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каж­дом опыте и не может быть учтено. То есть даже для измерений, выполненных одинаковым обра­зом, величина и знак случайной ошибки изменяются от измерения к измерению.

Встречается еще один тип ошибок - это грубые ошибки, или промахи. Источником их яв­ля­ется не­достаток внимания экспериментатора. Для устранения промахов нужно соблюдать акку­рат­ность и тщательность в работе и записях результатов.

 

Алгоритм обработки результатов прямых измерений.

Чтобы учесть случайные и систематические ошибки, найдем их поочередно, а затем объединим в общую ошибку. Вначале вычислим случайную ошибку для выбранного уровня значимости (или доверительной вероятности). Следует выполнить следующие действия.

1. Провести серию измерений, не менее трех

2. Найти среднее арифметическое .

3. Вычислить доверительный ин­тер­вал

для заданной доверительной вероятности, например,

 

4. Найти систематическую ошибку по классу точности прибора:

.

 

5. Вычислить общую ошибку: . Эту ошибку называют еще абсо­лют­ной ошибкой.

6. Записать окончательный результат: .

7. Кроме абсолютной ошибки желательно также найти коэффициент ва­риа­ции (или относительную ошибку, выраженную в процентах):

.

Коэффициент вариации позволяет сравнивать измерения, проводимые на различных объектах ис­сле­дования и с помощью различных методов. Измеряемые абсолютные величины могут от­ли­чать­ся по абсолютной величине в десятки-сотни раз, так же как и погрешности, в то время как срав­не­ние относительных погрешностей происходит в одном масштабе.

Погрешности косвенных измерений.

В большинстве случаев измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а дру­­гая, зависящая от нее тем или иным образом. Например, при определении скорости некоторого те­ла нужно:

· измерить путь, пройденный телом;

· измерить время, затраченное на это.

Если измерение включает два этапа, то и оценка погрешностей также включает их. Сначала надо оценить погрешности в величинах, которые измеряются непосредственно (путь, время, в нашем примере). Затем определить, как эти погрешности распределяются в расчетах и приводят к по­греш­ности в конечном результате.

Пусть .

Тогда ошибку функции можно представить в виде:

(*)

Относительную погрешность вычисляют по формуле:

(**)

Алгоритм обработки результатов косвенных измерений.

 

1. Провести серию прямых измерений (не менее трех) исследуемых величин .

2. Вычислить средние арифметические значения

3. Для каждой из независимых переменных найти доверительные интервалы для заданной доверительной вероятности.

4. По формуле (*) найти доверительный интервал (погрешность) для косвенно измеряемой величины для той же доверительной вероятности.

5. Записать окончательный результат: