Ошибка среднего арифметического или ошибка выборочности.

 

Пусть изучается некоторая достаточно большая совокупность. Методика измерений по­стро­ена таким образом, что вся эта большая совокупность разделена на несколько малых выборок. Найдены средние арифметические значения исследуемого параметра для каждой выборки и среднее арифметическое значение для всей большой совокупности (почти генеральной) . Если сравнить отклонения отдельных вариант от общего среднего с отклонениями средних значений малых выборок от общего среднего , то совершенно ясно, что последние будут значительно меньше.

Распределение выборочных средних арифметических будет близко к нормальному, поэтому к нему относятся все закономерности нормального распределения. Тогда вариацию случайной величины можно измерять своим среднеквадратичным отклонением , которое называют ошибкой среднего арифметического. Исходя из того, что , можно утверждать, опираясь на строгое математическое доказательство, что

,

где - по-прежнему объем выборки, - оценка среднеквадратичного отклонения выборки.

Тогда ошибка среднего арифметического:

.

Ошибку среднего арифметического часто называют ошибкой выборочности или ошибкой репрезентативности (representative).

Чем больше объем выборки, тем меньше ошибка среднего арифметического, так как

,

то есть тем меньше расхождение между значениями признаков в выборочной совокупности и ге­не­ральной, характеристикой которого является истинное значение признака или математическое ожидание

При увеличении объема отдельных выборок происходит взаимное погашение инди­ви­ду­альных от­­клонений от некоторого уровня, характерного для всей совокупности в целом. Именно тогда про­­яв­ляется закономерность, лежащая в основе биологического процесса.

 

Распределение Стьюдента.

 

Нормальное распределение достаточно хорошо описывает поведение непрерывной слу­чай­ной величины не только при , но и при конечных, но достаточно больших объемах вы­бо­рок (N >30). Что касается малых выборок (N <30), здесь распределение непрерывной слу­чай­ной величины может заметно отличаться от нормального.

Для таких ситуаций было предложено распределение случайной величины

.

Результат был указан в 1908 году английским исследователем Вильямом Госсетом, опуб­ли­ко­вав­шим свою работу под псевдонимом Стьюдент, но строго был получен З.Фишером в 1925 году.

По виду эта формула напоминает выражение для нормированной случайной величины

.

Однако, между ними весьма существенная разница. В числителе вместо индивидуальных значений Х стоит выборочное среднее арифметическое, а в знаменателе вместо среднеквадратичного от­кло­нения генеральной совокупности s стоит ошибка среднего арифметического для выборки.

Плот­ность вероятности случайной величины , подчиняющейся распределению Стьюдента, выражается формулой:

,

где B_N зависит от объема выборки. При малых значениях N кривая плотности вероятности значительно отличается от нормальной кривой. По мере увеличения числа наблюдений N распределение Стьюдента довольно быстро приближается к нормальному распределению и уже при N= 20 практически не отличается от него. Оно отражает специфику изменения малой выборки (N <30), распределяющейся по нормальному закону в зависимости от N.

Практическим следствием открытия закона распределения Стьюдента явилось изменение формул, определяющих границы доверительного интервала для математического ожидания случайной величины при заданной доверительной вероятности Р_D. Доверительный интервал должен вычисляться по формуле:

_.

Сравним значения доверительных интервалов в случае распределения Гаусса и распределения Стью­дента для одной и той же доверительной вероятности:

PD	Распределение Гаусса	Распределение Стьюдента
0,95

Через обозначена ошибка среднего для генеральной совокупности.

Исследования Стьюдента сыграли громадную роль, так как дали возможность работать с ма­­­лыми выборками. Обратим еще раз ваше внимание на то, что главная задача, которую решает математи­чес­кая ста­тис­ти­ка (ради чего, собственно говоря, эта наука и существует), заключается в том, чтобы на ос­но­ва­нии изучения выборки делать выводы о свойствах генеральной совокупности. Выборка - это лишь часть генеральной совокупности.