Статистические показатели выборочной совокупности.

Графики вариационных рядов (гистограммы) - это как бы «сгущение исходного материала», его наглядная картина. Но для сравнения разных выборок нужны количественные показатели. Существует два таких показателя (на самом деле две группы), но для простоты мы рассмотрим только основные. Вариационные ряды (выборки) могут различаться:

¨ по значению признака, вокруг которого концентрируется большинство вариант, то есть сред­нее арифметическое;

¨ по степени отклонения от среднего показателя, то есть вариационный размах, сред­не­квад­ра­тич­ное отклонение, или дисперсия.

Остановимся подробнее на обсуждении этих величин.

Среднее арифметическое

.

 

О величине среднего арифметического уже много было сказано в предыдущих главах. Что нового можно добавить с точки зрения биологической статистики?

Среднее арифметическое является обобщающей величиной, которая как бы впитывает в себя все особенности данной совокупности или ряда. Величина дает сводную обощенную харак­те­рис­ти­ку данного изучаемого признака.

Математическое ожидание - есть характеристика генеральной совокупности (), то есть то значение случайной величины, которое близко к истинному. Выборочное значение , то есть полученное по результатам выборки не равно математическому ожиданию, но чем больше объем выборки (), тем меньше отклонение выборочного от .

В биологических исследованиях может представлять известный интерес среднее геометрическое:

Пример. Пусть, например, необходимо вычислить средний за год ежемесячный темп прибавки веса грудного ребенка по результатам измерения относительного увеличения веса за каждый месяц.

· за 1-й месяц - в 1,23 раза;

· за 2-й месяц - в 1,19 раза;

· за 3-й месяц - в 1,2 раза и т.д.

В этом случае более адекватным выражением среднемесячного темпа привеса будет не среднее арифметическое, а среднее геометрическое значение. Для характеристики абсолютного увеличения веса более адекватным будет среднее арифметическое.

Мода -это еще одна характеристика положения распределения. В тех выборочных совокупностях, где может быть произведена только классификация вариант по какому-нибудь качественному признаку, наиболее типичную группу, в которую входит больше всего вариант, называют модой. Можно использовать эту характеристику и для количественных оценок. На рисунке изображено распределение по возрасту заболевших дифтерией. Очевидно, что знание среднего возраста заболевших менее интересно, чем знание возраста, в котором чаще всего происходит заболевание (от 2 до 4 лет). В частности, при решении вопроса о том, где должны быть сосредоточены главные профилактические усилия: в школах или в дошкольных учреждениях.

Если же распределение более или менее симметрично, то мода и среднее арифметическое значение близки друг к другу.

Дисперсия

Однако, знания только среднего арифметического еще недостаточно для характеристики сово­куп­нос­ти, так как главной особенностью совокупности является наличие разнообразия между ее чле­на­ми, то есть вариации. Характеристикой вариации является средний квадрат отклонений (или­ дисперсия), .

Для генеральной совокупности находится по следующей формуле:

,

а среднеквадратичное отклонение s, соответственно:

.

Для выборочной совокупности формулы отличаются. Обратите внимание, в знаменателе вместо стоит , вместо математического ожидания используется среднее арифметическое, определенное для выборки, а вместо (оценка среднеквадратичного отклонения для выборки).

Чем объяснить такое различие формул? Для ответа на этот вопрос нужно познакомиться с таким понятием как число степеней свободы.

Числом степеней свободы называется число независимых переменных (вариант) минус число на­ло­женных связей (ограничений). Число степеней свободы принято обозначать либо df (degrees of freedom), либо n (греческая буква ню).

Если изучаемая совокупность состоит из трех вариант, то при расчете среднего арифметического , так как никаких ограничений в данной ситуации не налагается.

А теперь рассмотрим ситуацию, когда по какой-то причине эти три числа (варианты) должны быть такими, чтобы их сумма была равна заданному числу, например, 300. Тогда из исходных трех вариант только 2 могут быть любыми по величине. Что же до третьей варианты, она выбирается равной . То есть в данном опыте накладывается одно ограничение и число сте­пе­ней свободы будет . С похожим ограничением мы сталкиваемся при рас­че­те дисперсии или среднеквадратичного отклонения, когда подсчитывается сумма квадратов от­кло­нений от среднего арифметического . Фиксированное значение и является в дан­ном случае ограничением. Следовательно, при вычислении дисперсии и среднеквадратичного от­клонения для выборочной совокупности следует в знаменателе записывать вместо . Что же касается генеральной совокупности, то при разница между и пренебрежимо мала, поэтому можно считать, что .