Тема 9. Выборочное наблюдение

Под выборочным наблюдением понимается такое несплошное наблюдение, при котором статистическому наблюдению подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу — по обследуемой части дать характеристику всей (генеральной) совокупности единиц. Совокупность отобранных для обследования единиц называют выборочной, а совокупность единиц, из которых производится отбор, — генеральной.

Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или бесповторным.

При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т. е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Таким образом, некоторые единицы могут попадать в выборку дважды, трижды или даже большее число раз. И при изучении выборочной совокупности они будут рассматриваться как отдельные независимые наблюдения.

При бесповторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Такой отбор целесообразен и практически возможен в тех случаях, когда объем генеральной совокупности четко определен. Получаемые при этом результаты, как правило, являются более точными по сравнению с результатами, основанными на повторной выборке.

Выборочное наблюдение всегда связано с определенными ошибками получаемых характеристик. Эти ошибки называются ошибками репрезентативности (представительности).

Ошибки репрезентативности обусловлены тем обстоятельством, что выборочная совокупность не может по всем параметрам в точности воспроизвести совокупность генеральную. Получаемые расхождения или ошибки репрезентативности позволяют заключить, в какой степени попавшие в выборку единицы могут представлять всю генеральную совокупность. При этом следует различать систематические и случайные ошибки репрезентативности.

Систематические ошибки репрезентативности обусловлены нарушением принципа случайности отбора (тенденциозный отбор) и являются однонаправленными ошибками. Их можно устранить правильной процедурой отбора единиц в выборку.

Случайные ошибки репрезентативности обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности. Но даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характеристики будут несколько различаться. Получаемые случайные ошибки могут быть статистически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка ошибок выборочного наблюдения основана на теоремах теории вероятностей.

Выборка характеризуется следующими показателями:

средняя ошибка выборки (повторный отбор):

средняя ошибка выборки (бесповторный отбор):

предельная ошибка выборки — ошибка, исчисленная с заданной степенью вероятности:

где s² — выборочная дисперсия (значения признака или доли),

n — объем выборочной совокупности;

N — объем (число единиц) генеральной совокупности;

– выборочная дисперсия значения признака (х);

– выборочная дисперсия доли;

ω — выборочная доля (), т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, в выборочной совокупности;

— выборочная средняя;

t — коэффициент доверия (табличное значение).

Предельная ошибка выборки дает возможность выяснить, в каких пределах находится величина генеральной средней с учетом заданной вероятности;

На величину вероятности указывает множитель t. Обычно используются нормированные (табличные) значения t, для определенных значений вероятности Ф(t):

t=1	Ф(t)= 0,683
t=2	Ф(t)= 0,954
t=3	Ф(t)= 0,997

Зная выборочную среднюю величину признака () и предельную ошибку выборки (D_x), можно определить границы (пределы), в которых заключена генеральная средняя ():

или

Зная выборочную долю признака () и предельную ошибку выборки (), можно определить границы, в которых заключена генеральная доля (р):

Для типической выборки при расчете средней ошибки (m) используют не общую дисперсию, а среднюю из внутригрупповых дисперсий (), при серийной выборке — межгрупповую дисперсию (d ²).

Для определения необходимой численности выборки исследователь должен задать уровень точности (предельную ошибку) выборочной совокупности с определенной вероятностью.

Численность случайной повторной выборки определяется по формуле:

, или

бесповторной:

.

 

где _или — относительная ошибка выборки

_— коэффициент вариации

Если расчет проводится по качественному альтернативному признаку и не известна его доля в генеральной совокупности, её принимают равной 0,5, так как дисперсия доли достигает максимума: = 0,25 при ω = 0,5.

Пример 9.1. Для определения качества партии товара 5% от всего количества изделий были подвергнуты выборочному обследованию. Из 1000 проверенных изделий 150 были нестандартными. Определить с вероятностью 0,954 долю нестандартных изделий во всей партии.

Решение: По условию задачи дано:

= 5% или 0,05	Определим долю нестандартных изделий в выборочной совокупности:
n = 1000 изд.	ω = = = 0,15 или 15%.
m = 150 изд.
t = 2	Из 1000 проверенных изделий
w –? Δw –?	15% – нестандартные изделия.

Определим предельную ошибку выборочного наблюдения:

 

Δ _ω = t

 

или Δ_ω = 2 = 0,022 или 2,2%.

Доверительные интервалы для доли будут равны:

p = w Δ_w

p = 15% 2,2%, тогда 15% – 2,2% p 15% + 2,2%.

Доля нестандартных изделий во всей партии будет находиться в пределах от 12,8 до 17,2% при вероятности 0,954.

Пример 9.2. Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была произведена 10%-ная механическая выборка, в которую попало 200 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом – 30 дней при среднем квадратическом отклонении 9 дней. С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых будет находиться средний срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной совокупности.

Решение. Средний срок пользования кредитом в банке находится в пределах:

 

– Δ_х + Δ_х .

Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения определяется по формуле:

Δ_х = t ;

 

Δ_х = 3 = 1,81 2 дня

 

=30 дн. 2 дн. или 30 дн.–2 дн. 30 дн.+2 дн.

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний срок пользования краткосрочным кредитом в банке находится в пределах от 28 дней до 32 дней.