Определение (дефиниция) как прием познания

Общая характеристика определения

Операция определения является одной из наиболее важных в процессе познания. Она связана с основной проблемой, опреде­ляющей роль языка как средства коммуникации и познания, а именно, — с проблемой связи выражений языка с объектами, которые эти выражения должны представлять как знаки. Дру­гими словами, операция определения связана с проблемой фор­мирования предметных значений знаков языка, а вместе с этим и смысловых значений выражений языка. Отсюда возникает связь рассматриваемой операции с тем, что обозначают в педа­гогике словами «понимание», «уяснение смысла», «сознатель­ное усвоение учебного материала», «механическое запомина­ние» или злосчастная «зубрежка». Каждый, кто оглянется на свое школьное прошлое, вспомнит, вероятно, что ни одно дока­зательство, ни одно опровержение не обходится без определе­ний. Наличие определений основных терминов доказательства — необходимое условие его осуществления. От наличия более или менее ясных определений терминов в том или ином изло­жении материала зависит ясность и точность этого изложения.

К сожалению, надо заметить, что в логике и эпистемологии до сих пор не было точного и до сих пор нет общепринятого оп­ределения самого термина «определение», а это значит, не ясно, что имеется в виду под данным термином, и все разговоры в таком случае могут превратиться, по словам одного мыслителя, в «шелуху слов» вместо мыслей. Эту операцию характеризуют обычно как операцию, посред­ством которой раскрывается содержание понятия. Однако, как мы видели, понятие всегда характеризуется наличием какого-то содержания. «Понятие, содержание которого не раскрыто» — это просто не понятие. А если оно уже имеется, то зачем его раскрывать? При более точной трактовке определения, как при­ема познания, оно скорее есть способ введения понятий в на­уку, хотя и эта характеристика не может быть отнесена ко всем определениям вообще. Но во всяком случае здесь речь идет уже не об операциях с понятиями. Эта операция со словами, с вы­ражениями языка. Основная цель, которой она подчинена, — обеспечение точных предметных значений слов языка как зна­ков. Поэтому она имеет большое значение для обеспечения оп­ределенности нашего мышления в той части, которая зависит от определенности предметных значений языковых знаков. Послед­ние определяются как раз для того, чтобы предотвратить такие ситуации, когда знаки отрываются от их предметных значений, мышление лишается предметного содержания и превращается в пустое словотворчество. Таким образом, от определений зависит точность нашего мышления. Как метко заметил английский ес­тествоиспытатель XIX в. Д.Гершель: «Нельзя внести точность в рассуждения, если она сначала не введена в определения».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ есть логический способ установления или уточнения связи языкового выражения с тем, что оно обозначает как знак языка. Этот способ состоит в прида­нии выражению некоторого смысла (или уточнении, уг­лублении имеющегося смысла), который выделяет то, что должно быть предметным значением данного выражения. Выражение языка, к которому относится определение, называется определяемым. Знаковая форма, выра­жающая смысл придаваемый определяемому, называется определяющим. Определяемое иначе называют дефиниендум, а определяющее — дефиниенс.

Для понимания специфики определения как приема познания полезно вспомнить основные типы языковых выражений (см. §2) и учесть, что определяемыми могут быть выражения раз­личных синтаксических категорий: именные формы (единич­ные, общие имена и общие формы применения предметных функторов) и высказывательные формы (предложения и преди­каты). Примеры

1. «Полярная звезда» — это та звезда, направление на кото­рую из любой точки земного шара, с которых эта звезда видна, есть направление на север». Определяемым здесь, очевидно, яв­ляется единичное имя «Полярная звезда».

2. Определение общего имени:

— «Точка зенита небесной сферы — это высшая точка над головой наблюдателя».

— — это число, равное отношению длины катета, про­тиволежащего углу х, к гипотенузе прямоугольного треуголь­ника» (где область D для χ — множество острых углов прямо­угольного треугольника) — определяемое здесь, очевидно, — общая форма применения предметного функтора «синус». Это определение отличается от определения «sin», представляющего имя функции, которую (опять-таки применительно к множеству острых углов прямоугольных треугольников) можно определить как «функцию, которая соотносит каждому углу (из указанной области) число, равное отношению длины соответствующего ка­тета к длине гипотенузы».

— «X больше у, если и только если существует такое г, что χ = у + 2» — определяемое здесь выражение — предикат (при­менительно к области натуральных чисел в качестве возможных значений переменных).

Смысл, который приписывается в определении предложения, — это суждение или, поскольку оно выражено в определенной знаковой форме, — высказывание. Этот смысл указывает усло­вия истинности предложения, а тем самым детерминирует (оп­ределяет) его предметное значение. Примеры определений пред­ложений рассмотрим ниже. Сейчас заметим, что потребность в определении какого-то предложения возникает каждый раз, когда нам не ясен смысл утверждения, высказывания. Возни­кает, например, вопрос, что означает утверждение: «Всякое кристаллическое вещество имеет определенную температуру плавления»? Во время экзаменов, когда студенту ставят зани­женную, по его мнению оценку, и он считает, что хорошо знает предмет, преподавателю нередко приходится разъяснять, что означает утверждение: «Студент хорошо знает предмет».

Из приведенных примеров читателю должно быть ясно, что оп­ределяемое и определяющее выражения относятся к одной и той же синтаксической категории выражений. Точнее говоря, опреде­ляющее именно и указывает категорию того, что определяется.

Кроме того, важно отметить, что определение единичных и общих имен непосредственно представляет собой способ «введения понятий в науку», поскольку, как не раз было сказано, именно понятия составляют смыслы имен — единичных и об­щих. По существу, это относится и к определению предикатов и к определению именной формы, ибо предикат. , который здесь приписывается в качестве смысла, представляет собой содержание понятия вида . А выражение — составляющее смысл, приписываемый именной форме - - является существенной частью содержания понятийной формы вида ) (число х, равное ). Ясно, что при определенных значениях эта понятийная форма превращается в понятие. «Определить некоторое выражение» буквально (например, в польском языке) означает «определить», т.е. установить границы его примене­ния. Однако, поскольку в определении мы приписываем смысл термину, то тем самым характеризуем предметы, т.е. определя­ем предметы. Более того, под определением термина мы имеем в виду именно указание характеристик предметов, которые он обозначает или должен обозначать. Определяя квадрат, мы ха­рактеризуем его как равносторонний прямоугольник. Но опре­деляя термин «квадрат» в буквальном смысле, мы должны бы­ли бы сказать, что это есть слово, служащее для обозначения равносторонних прямоугольников.

Возможны, по крайней мере, три типа ситуаций, в которых возникает необходимость в определении:

1. В процессе развития некоторой науки или изложения науч­ного материала в ходе некоторой аргументации, например до­казательства какой-то теоремы, вводится новая языковая форма — термин, высказывательная форма и т.п. Естественно, при этом должно быть установлено, что именно он должен представлять как знак, что имеется в виду или что хотят иметь в виду при его упот­реблении. Так, при описании формализованного языка логики вводят понятие терма, формулы данного языка, свободной и свя­занной переменной. Физик, формулируя закономерности движе­ния, вводит термины: скорость, ускорение, траектория и т.д. Ясно, что изложение может быть понятным другому — читателю, слу­шателю, — если он знает, что имеется в виду под каждым выра­жением употребляемого языка. Поэтому введение каждого нового термина сопровождается разъяснением.

Обычно это делается в форме: «Ускорением движения в дан­ный момент времени называют (или «будем называть») предел отношения приращения скорости в течение некоторого отрезка времени к самому этому отрезку времени при стремлении этого отрезка к нулю (т.е., говоря математическим языком, ускоре­ние в данной точке времени есть значение — в этой точке времени — производной скорости по времени)». Впрочем, вместо «ускорением называют отношение...» может быть просто «ускорение есть отношение...», иногда с добавлением «по опре­делению», что чаще всего просто подразумевается в силу харак­тера контекста, в котором дается определение. Желая иметь примеры определений, читатель может вернуться хотя бы к тем частям данной работы, где разъясняются смысловые значения упомянутых выше логических терминов (терм, формула, свя­занная, свободная переменная и т.п.). Но каждый, вероятно, помнит многие из определений, с которыми встречался в шко­ле: «Параллелограммом называют четырехугольник с равными противоположными сторонами», «Корень слова — это неизме­няемая часть данного слова», «Остров есть часть суши, окру­женная со всех сторон водой».

2. Ситуация другого типа состоит в том, что для специальных целей науки используется некоторый термин или языковый знак вообще, который имеет употребление либо в других облас­тях знания, либо в повседневном обиходе, но при этом употреб­ляется в различных значениях, или, наконец, в данном упот­реблении его хотят использовать некоторым специальным обра­зом. Так, слово «интерпретация» употребляется весьма часто в повседневной жизни и в разных случаях ему придается различ­ный смысл, а чаще всего никакого определенного (в силу чего расплывчатый смысл имеют и утверждения, в которых речь идет об интерпретациях, т.е. некоторых событий или каких-то выражений художественных или музыкальных произведений и т.д.). При описании формализованного языка, как мы видим, посредством определения термину «интерпретация» придан оп­ределенный смысл, а значит, и предметное значение.

3. В ситуациях третьего типа мы имеем дело с выражением, для которого уже в самой языковой практике установилось оп­ределенное, практически точное предметное значение. И задача, которую имеют в виду, применяя к такому термину определе­ние, состоит в том, чтобы придать этому термину определенный смысл, а значит обеспечить и большую надежность и строгость в его употреблении. Так, практически каждый знает, какие су­щества называются словом «человек», что означает «болезнь», «производительность труда» и т.д. Однако интуитивное упот­ребление термина оказывается недостаточным в некоторых осо­бых ситуациях, когда нужно, например, доказать или опровер­гнуть утверждение, что некоторые предметы или явления отно­сятся именно к тому классу предметов, который представляет данный термин: доказать или опровергнуть, например, что тот или иной человек действительно болен.Читатели известной книги Веркора «Люди или животные» помнят, конечно, характер показанной там ситуации, в которой жизненно важным оказалось точное решение вопроса о том, что же такое человек.

Заметим, что функции определения в ситуациях (1) и (2) су­щественно отличаются от той, которую она имеет в ситуации (3). В ситуациях (1) и (2) мы имеем так называемые номиналь­ные определения. Такое определение есть условие, соглашение относительно употребления данной знаковой формы. Иначе го­воря, определение в этом случае представляет собой ответ на вопрос, что имеют в виду или будут иметь в виду под данным выражением (что называют или будут называть данным терми­ном, что мы имеем в виду, употребляя данное выражение языка).

Хотя результат определения здесь и выражается в форме, сходной с повествовательным предложением, она не содержит какого-либо утверждения, кроме именно того, что данную зна­ковую форму предлагается употреблять так-то и так-то. Однако эта форма может быть использована в аргументации как пове­ствовательное предложение, истинное по соглашению, именно по определению. По принципу предметности утверждение при употреблении некоторого знака относится к тому, что оно обо­значает. Но в данном случае задача состоит как раз в том, что­бы установить, что именно должно обозначать определяемое выражение как знак. Существует афоризм — «Об определениях не спорят». Это относится именно к номинальным определени­ям. Если какой-то спор здесь и возможен, то лишь о том, целе­сообразно ли указанное в определении употребление термина или о том, насколько целесообразно введение самого понятия, которое ассоциируется с данным термином. Вопрос же о целесо­образности введения какого-то понятия решается в связи с теми практическими и теоретическими задачами и потребностями, с которыми связано само введение термина и соответствующего ему понятия.

Понятие, которое вводится посредством номинального опреде­ления термина может сохраняться при дальнейших изменениях наших знаний о предмете, при возникновении более глубоких понятий о нем, в частности, при переходе от одной теории к но­вой теории, возникающей в результате углубления нашего зна­ния, с которым связано изменение реальных определений. Именно благодаря такому сохранению некоторых понятий, т.е. благодаря существованию транстеоретических понятий, создает­ся преемственность в развитии знания. Развивая наши знания, мы не теряем из виду тех предметов, к которым относится наше познание. На них именно и указывают номинальные определения. Так при переходе от механики Ньютона к релятивистской механике изменяются понятия (наши знания) «массы», «дли­ны», «времени» и др. Мы узнаем, например, что масса зависит от скорости — увеличивается с увеличением скорости движения тела. Однако и в той, и в другой теории мы можем иметь в виду, а ученые очевидно имеют, под термином «масса» способность тела сопротивляться изменению скорости. Определение может сохра­ниться даже при переходе от релятивистской к какой-то другой механике, поскольку объектом изучения будет оставаться все та же способность тел сопротивляться ускорению.

Определения в ситуации (3) называют «реальными». Другое, распространенное в литературе название этих операций — «экспликация». Результат определения такого типа представля­ет собой суждение — характеристику обозначаемых данным термином предметов. В силу этого здесь возникает вопрос о его истинности или ложности и, естественно, возможны споры от­носительно самого определения. Имеются, например, различные попытки определения «болезни», но никакое из них не являет­ся пока общепризнанным. Известны также продолжающиеся на протяжении многих веков споры о том, что такое человек.

Относительно реальных определений в свою очередь имеются две возможности с точки зрения применяемых к ним требова­ний. Иногда, ставя вопрос, например, о том, что такое человек, имеют в виду указание какой-либо отличительной совокупности признаков человека. Такому требованию удовлетворяет, очевид­но, определение человека, предложенное еще в Древней Греции, как существа от природы двуногого и бесперого. Возможно также определение его как существа, обладающего способно­стью плакать (имея в виду эмоциональный плач, а не просто рефлекторное выделение слез, которое возможно у многих жи­вотных). Однако под реальным определением имеют в виду от­вет на вопрос, что представляют собой предметы по существу, в чем состоит основа их качественной специфики? Исходя из это­го, указанные определения человека не считаются удовлетвори­тельными как реальные определения. Среди философов распро­странено определение человека как продукта определенной со­вокупности общественных отношений. Хотя сама по себе эта характеристика, будучи существенной, не является его опреде­лением, поскольку к числу людей, без сомнения, относят и Ма­угли. По-видимому, наиболее точным образом человек может быть определен как член сообщества, производящего и исполь­зующего в своем взаимодействии с природой орудия труда. А членом сообщества является, очевидно, каждый, кто рожден членом этого же сообщества. Из только что сказанного о реальном определении в строгом смысле ясно и то, что оно может относиться к классу предме­тов, уже обобщенных в том или ином понятии, но не выража­ющих сущность этих предметов. Есть ли, например, у нас по­нятие смешного? Очевидно, да. «Это все то, что вызывает смех». Но в науке нет пока ясности в том, в чем сущность смешного, каковы именно те признаки явления, в силу которых они способны вызывать смех. Говорят, что это некоторое несо­ответствие, но несоответствие может быть не только причиной смеха, но и слез. И остается еще задачей определить специфику несоответствия, противоречия, вынуждающих людей смеяться.

Характеристика того или иного определения как номиналь­ного или реального зависит, как мы видели, от того, какую функцию или задачу оно выполняет. А это в свою очередь опре­деляется ситуацией, в которой применяется определение. Мно­гие номинальные определения являются таковыми для читате­лей и слушателей, для которых предназначено изложение неко­торого научного материала, но не для самого автора. Прежде чем сообщить слушателю или читателю о том, какие предметы будет обозначать вводимый термин, автор уже имеет в виду так или иначе выделенный класс предметов и должен для себя от­ветить на вопрос о том, как эти предметы могут быть охаракте­ризованы, т.е. составить понятия о них. Это означает, что сам он вырабатывает реальные определения предметов.

Виды определений

По существу, мы уже выделили виды определений, различа­ющихся по типам определяемых выражений. Кроме того, два вида определений — номинальные и реальные — уже выделены по тому, какую функцию выполняет определение, на какой вопрос оно дает ответ. Далее по структуре выделяют определе­ния явные и неявные в зависимости от того выделяются ли в качестве самостоятельных (непересекающихся) частей опреде­ляемое выражение и определяющее. Все приведенные выше оп­ределения являлись явными. Они имеют форму равенства, если определяемым выражением является та или иная именная фор­ма, — или эквивалентности, когда определяемое есть высказывательная форма. Отношение равенства в естественном языке обычно выражается словами «это», «есть», «это есть» или «то же, что», а эквивалентности — словосочетанием «если и только если» или «равносильно», «означает то же, что».Однако не каждое определение, имеющее форму равенства или эквивалентности является явным. Как мы увидим далее (см. контекстуальные определения), есть определения, имеющие форму равенства или эквивалентности, но не являющиеся яв­ными. Определяемое и определяющее выражения в таких опре­делениях не выделяются в качестве самостоятельных частей. Левая часть (равенства или эквивалентности) в них не является определяемым, а лишь содержит его в качестве своей собствен­ной части.

Явное определение — это наиболее простая и наиболее упот­ребительная форма определений. Наличие явного определения в той или иной теории позволяет исключить (элиминировать) оп­ределяемое выражение из языка этой теории, заменяя его во всех случаях, где оно встречается, определяющей частью. Упот­ребление его (определяемого) может быть полезно лишь ради сокращения некоторых контекстов. Принципиально оно не яв­ляется необходимым. Так, вместо выражения «Полярная звезда находится в созвездии Малой медведицы» мы можем, — ис­пользуя приведенное выше определение, — сказать: «Та звезда, направление на которую из любой точки земного шара, с кото­рой эта звезда видна, есть направление на север, находится в созвездии Малой медведицы». Но ясно, что первое короче, удобнее второго.

Это обстоятельство иногда истолковывают так, что само опре­деление, имея в виду номинальное определение, можно тракто­вать просто как введение некоторого сокращения для определя­ющего выражения. Однако операцию введения сокращения на­до, очевидно, отличать от определения, даже если речь идет о номинальном определении. Определение вводит в познание не­которые новые концептуальные образования. В частности, оно представляет собой способ введения понятий, что особенно важ­но в познании. Сокращение же предполагает уже наличие неко­торого понятия (или концептуального образования вообще).

Имея, например, формализованный язык с двумя логически­ми связками (материальной импликацией и отрица­нием), можно ввести по определению высказывание вида (А или В): . Но явно другой смысл будет иметь соглашение: «Используем для Λ В сокращение ". (О со­отношении понятий и сокращений для них см.§16.)

В структурах неявных определений, о которых речь ниже, нельзя выделить определяемое и определяющее в качестве само­стоятельных частей, в силу чего они не дают способа элимина­ции определяемого из тех или иных контекстов.

ВИДЫ ЯВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

Для определений, посредством которых вводятся понятия (определения имен и предикатов), возможно выделение их ви­дов по характеру видовых отличий этих понятий. Речь идет о характере признаков, по которым выделяется класс предметов или отдельный предмет. Такими признаками могут быть каче­ства, свойства (в частности, свойства реляционного типа) пред­метов. Таковы, например, определения: «Хорда — это отрезок прямой, соединяющий две какие-нибудь точки окружности»; «Диаметр окружности — это наибольшая хорда окружности»; «Дерево — многолетнее растение, имеющее ствол, крону и кор­ни»; «Жидкость (вещество, находящееся в жидком состоянии) — это вещество, которое имеет собственный объем, но не имеет собственной формы и принимает форму сосуда, в который по­мещена»; «Прибыль предприятий — это остающийся у пред­приятия доход после выплаты всех расходов, связанных с про­изводством и реализацией его продукции».

Наряду с такими определениями, которые можно назвать ат­рибутивными, выделяются генетические и операциональные.

В операциональном определении видовой характеристи­кой предметов является указание на некоторую опера­цию, посредством которой эти предметы могут быть об­наружены и отличены от других предметов.

Например, температуру мы можем определить как состояние предмета или среды, количественная характеристика которого может быть установлена с помощью термометра. В лингвистике операциональный характер имеют определения тех или иных выражений путем указания вопросов, на которые они отвечают, например, «существительное находится в именительном паде­же, если (и только если) оно отвечает на какой-нибудь из во­просов «кто?», «что?». К этому же виду будет относиться и оп­ределение кислоты, как жидкости, окрашивающей лакмусовую бумажку в красный цвет.

Весьма важным видом явных определений являются оп­ределения через абстракцию.

Заметим, что этот способ применяется для определения имен таких абстрактных объектов (предметно-функциональных ха­рактеристик предметов) как: масса, форма, площадь, длина и т.п. Определение здесь осуществляется посредством особого ти­па отношений, называемых отношениями типа равенства (иногда — эквивалентности). Примерами таких отношений могут служить подобие (фигур), конгруэнтность отрезков: «Форма гео­метрической фигуры есть то общее, что имеется у всех подоб­ных фигур». Задав отношение равновесомости двух тел, уравновешиваемости их на чашечных весах, можно определить вес как то общее, что является одинаковым у всех равновесомых пред­метов и различным у неравновесомых.

К приведенному перечню известных видов явных определе­ний следовало бы, как нам представляется, добавить фактичес­ки широко применяемый способ определения, который можно было бы назвать лингвистическим. Этот способ применяется для определения некоторых абстрактных объектов и состоит в том, что в качестве характеристик указываются языковые фор­мы их выражений. Таким образом, в предыдущих частях учеб­ника вводились понятия: «свойство», «отношение», «атрибутив­ное свойство», «реляционное свойство» по виду представляю­щих их предикатов. Напомним, что отношение, например, есть такая характеристика систем объектов, которую представляют более чем одноместные предикаты Α(χι,...,χη), а свойства — од­номестные предикаты А(х). По структурам одноместных преди­катов мы различаем также атрибутивные и реляционные свой­ства (см. §12).

В лингвистике этот способ дефиниции применяется при опре­делении частей предложения и некоторых других понятий.

В заключение обзора видов явных определений отметим одну их особенность. При широком понимании свойства, как харак­теристики предмета, выраженной одноместным предикатом (см. §12), — очевидно, что в генетических, операциональных, линг­вистических и определениях через абстракцию — во всех этих определениях в качестве видового отличия вводимого понятия указывается некоторое свойство! На этом основании, казалось бы, их можно рассматривать как виды атрибутивных... Однако при характеристике атрибутивных определений мы употребля­ли термин «свойство» в более узком смысле (см. §12). Учитывая это, точнее можно было бы сказать, что атрибутивное определе­ние — это явное определение, отличающееся от всех только что перечисленных видов. Иначе говоря, атрибутивные определения — это такие определения, которые не являются лингвистичес­кими, операциональными, генетическими и определениями че­рез абстракцию, то есть все остальные.

Обратим внимание читателя на примечательный факт. Такой способ определения «атрибутивных определений» может, вооб­ще говоря, рассматриваться как частный случай еще одного из видов явного определения — определения посредством отрицания. Этот прием определения чаще всего применяется в случа­ях, когда удается определить все виды предметов некоторого класса (выделенные по одному и тому же основанию), кроме одного. Тогда предметы этого вида определяются именно как «все остальные» в данном роде. Например: «Формула является выполнимой (в узком смысле), если и только если она не явля­ется ни тождественно-ложной, ни тождественно-истинной». На­деемся, что читатель без труда может привести примеры воз­можных определений этого вида. Принимая во внимание еще один вид явных определений — только что рассмотренный — и возвращаясь к определению атрибутивных дефиниций, мы дол­жны из класса «остальных» исключить, конечно, и определе­ния посредством отрицания.

ВИДЫ НЕЯВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

Вспомним сказанное выше о том, что неявные определения отличаются от явных тем, что в них нельзя выделить в качестве самостоятельных частей определяемое и определяющее выраже­ния и, значит, нельзя представить в виде равенства или эквива­лентности, левая часть которых представляла бы определяемое выражение. Однако, как мы уже говорили, есть вид неявных определений — контекстуальные определения, — которые имеют вид равенства или эквивалентности. Тем не менее левая часть этого равенства есть не определяемое, а некоторый кон­текст, в частности, — возможно предложение, включающее оп­ределяемое как некоторую свою правильную часть. Таким — неявным — образом определяются, например, выражения, об­разуемые посредством определенной и неопределенной дескрип­ций ( —, а именно: непосредственно опре­деляются при этом предложения вида ). Оп­ределения их мы уже имели. Напомним их здесь.

. («Существует предмет χ (из области D), который обладает свойством АиВ и при­том он является единственным, обладающим свойством А».)

Пример

Предложение «То небесное тело, которое является естествен­ным спутником Земли, есть остывшее тело» истинно, если и только если существует небесное тело, которое является есте­ственным спутником Земли и является остывшим, и для любого тела, которое является естественным спутником Земли, верно, что оно совпадает с упомянутым (х)» «.

Итак, форма определения здесь есть эквивалентность. Однако читатель должен увидеть, что левая ее часть — ) и ) — содержит определяемое (соответственно: и ) как свою правильную — не совпадающую с целым — часть. В правой же — определяющей — части это выражение уже не содержится.

Определения такого — неявного — вида всегда можно рас­сматривать как явное определение всего выражения, стоящего в левой части, в данном случае — предложения. Точнее говоря, оно представляет собой схему определений любых предложений указанной структуры.

Таким образом, одно и то же определение может быть явным относительно одного выражения и неявным контекстуальным относительно термина «необходимо».

В приведенных ранее таблицах, выражающих условия истинно­сти высказываний, образованных посредством операций мы имеем явные определения соответствующих выска­зываний и неявные контекстуальные определения указанных опе­раций как функторов. Например, табличное определение высказы­вания «р&q» в развернутой форме может быть представлено так: высказывание вида р&q эквивалентно (по определению) такому вы­сказыванию, которое имеет истинностные значения, указанные в таблице (см. §9). Но здесь же мы имеем неявное (контекстуальное определение самого функтора «&», как операции, посредством ко­торой образуются высказывания рассматриваемого вида).

В традиционных учебниках по логике контекстуальным опреде­лением некоторого термина называют обычно разъяснение его смысла и предметного значения посредством указания совокупнос­ти предложений или высказываний, содержащих этот термин. Та­кими совокупностями, по мнению многих авторов, могут быть со­вокупности аксиом некоторой математической теории, совокуп­ность уравнений и т.п. Более того, имеется мнение, что всякая со­вокупность слов, всякий контекст, в котором встречается интере­сующее нас выражение, является неявным его определением.

Однако это, очевидно, не так. Определяет ли смысл (и соот­ветственно предметное значение) слова «дядя» следующий изве­стный пушкинский контекст?

Мой дядя самых честных правил, Когда не в шутку занемог, Он уважать себя заставил И лучше выдумать не мог. В современной логике выяснено, что далеко не всякая сово­купность предложений, в которых содержится некоторый тер­мин, является его неявным определением. Установлен точный критерий, в каких случаях имеет место неявная определимость, например, некоторого предикатора Ρ множеством содержащих его предложений I1.

Используя этот критерий, можно, конечно, говорить, что в соответствующих — положительных — случаях мы имеем не­явное определение термина. Однако речь здесь идет об опреде­лении не как об особой логической операции, а как о некоторой характеристике контекста, его отношении к термину.

Другим важным видом неявных определений являются ин­дуктивные определения («определения по индукции»). С опре­делением этого вида мы уже имели дело при определении фор­мул ЯЛВ и ЯЛП, термов в ЯЛП. Эта форма неяв­ного определения применяется для определения общих имен и является таким образом специфическим способом введения по­нятий в науку. Она применяется в тех случаях, когда класс-объем определяющего понятия может быть разделен на две час­ти: 1) совокупность некоторых элементарных объектов этого класса и 2) совокупность объектов, которые могут быть постро­ены из других объектов этого же класса, а в конечном счете — из элементарных, посредством некоторых операций.

Рекомендуем читателю обратиться к упомянутым только что определениям и проанализировать их с точки зрения данного здесь их описания. Дополнительно к этим определениям ука­жем известное определение термина «натуральное число».

Элементарным объектом класса натуральных чисел является 0 (ноль). А операцией, посредством которой любое натуральное число (кроме 0) может быть образовано из другого, и в конеч­ном счете из 0, является прибавление единицы, или, как иначе говорят еще, операция образования объема, «следующего за га» (для обозначения объекта, «следующего за га» принято обозна­чение «га'»). Все определение термина «натуральное число» выгля­дит так:

1. 0 есть натуральное число.

2. Ничто другое, кроме указанного в пунктах 1 и 2, не есть натуральное число.

Следует обратить внимание на специфику индуктивных опре­делений, состоящую в том, что определяемое выражение ис­пользуется здесь в определяющей части. Это создает видимость известной ошибки в определениях «порочного круга», но «круг» фактически «раз­рывается» благодаря именно расслоению класса предметов на некоторые уровни (известно, что до открытия индуктивных оп­ределений логикой в науке возникали в определенных случаях трудности, связанные как раз с неумением выйти из кажущего­ся «порочного круга», по видимости, неизбежно возникающего в некоторых случаях).

Среди неявных определений также можно выделить виды ге­нетических и операциональных. Так, индуктивное определение, по существу, является генетическим, поскольку основная его часть состоит в указании способа построения объектов из дру­гих и в конечном счете — из элементарных. Таким образом, есть виды явных операциональных и генетических, а также и неявных определений этого типа.

Известен, кроме рассмотренных выше, еще один вид неявных определений — рекурсивные определения. В этих определениях задаются операции вычисления значений предметных функто­ров, т.е. вычисление возможных значений форм имен вида: «х+y», "x-y" и т.д. Широкое применение этот вид определения находит в математике и математической логике.

В заключение данного параграфа обращаем внимание читате­ля на то, что в учебниках традиционной логики среди явных определений в качестве особого вида выделяют обычно так на­зываемые определения «через род и видовое отличие». При этом имеется в виду, что в определяющей части этих определений указывается некоторый класс предметов («род») и видовое от­личие, посредством которого в этом классе выделяется опреде­ляемый класс предметов. Например, «Ромб есть плоский, замк­нутый четырехугольник (род), все стороны которого равны (ви­довое отличие)».

Однако мы видели уже, что всякое понятие представляет со­бой результат обобщения предметов некоторого класса и мыс­ленного выделения его в пределах более широкого класса. То есть понятие всегда имеет родо-видовую структуру. Таким обра­зом, определение «через род и видовое отличие» — это просто определение общего или единичного имени, посредством кото­рого вводится некоторое понятие. Это значит, что, в частности, индуктивное определение есть тоже определение через род и ви­довое отличие. Более того, указание рода необходимо во многих других видах определений. Например, при определении выражения типа А(х) (одноместного предиката) необходимо указание области значений х. Аналогично дело обстоит и при определе­нии предметных функторов. Следовательно, определение «через род и видовое отличие» не является особым видом определения.