Булеві функції (функції логіки)

Результат виконання логічних операцій над двійковими змінними називається булевою функцією F. Вона може приймати тільки два значення – " 0 " або " 1 ". Задати булеву функцію – означає вказати її значення при всіх можливих комбінаціях змінних (аргументів). Якщо число змінних рівне " n ", то число можливих комбінацій рівне 2ⁿ. Коли значення функції відоме для всіх комбінацій, вона називається повністю визначеною. Інакше – частково визначеною.

Булеві функції необхідні для синтезу цифрових пристроїв, що містять тільки логічні елементи. Для представлення булевих функцій часто застосовують словесний опис, табличне і алгебру уявлення.

Словесний опис функції повинен однозначно визначати всі випадки, в яких вихідні сигнали приймають значення " 1 " або " 0 ". Наприклад: Спроектувати пристрій з трьома входами x1, x2, x3, на виході якого сигнал F = 1 у випадку, якщо на будь-яких два або на всі три входи поданий сигнал " 1 ".

Табличне уявлення – це перерахування всіх можливих комбінацій вхідних сигналів. Для пристрою, заданого приведеним вище словесним описом, таблиця значень має вигляд

Tаблиця істинності

 

Форма алгебраїчного представлення булевих функцій використовується для мінімізації (спрощення формул) і для побудови логічних схем. Існує дві форми алгебраїчних функцій – диз'юнктивна і кон'юнктивна. Диз'юнктивна нормальна форма є сумою елементарних добутків аргументів, наприклад

Форм. 23

Якщо кожен доданок містить всі аргументи або їх заперечення, то отримуємо досконалу диз'юнктивну нормальну форму (ДДНФ), наприклад

Форм. 24

Досконала кон'юнктивна нормальна форма (ДКНФ) є логічним добутком елементарних логічних сум, причому кожна сума містить всі аргументи або їх заперечення, наприклад

Форм. 25

Для переходу від таблиці істинності до ДДНФ враховуються тільки ті стани, для яких функція рівна 1. Для кожного такого стану записується елементарний добутокр всіх аргументів. Якщо аргумент має значення " 0 ", то записується його заперечення. Для приведеного прикладу ДДНФ має вигляд

Форм. 26

Для переходу від таблиці істинності до ДКНФ враховуються тільки ті стани, для яких функція рівна " 0 ". Для кожного такого стану записується елементарна сума аргументів. Якщо аргумент має значення " 1 ", то пишеться його заперечення. Для приведеного прикладу ДКНФ має вигляд

Форм. 27

На підставі отриманих формул (26) або (27) можна побудувати логічну схему, що складається з елементів "АБО", "І", "НІ". Для функції (26) спочатку зображаються інвертори, потім осередки " І " і потім осередки " АБО " (рис. 7).

Рис. 7

 

Схеми рис. 7 і рис. 8 містять всі типи логічних елементів. У зв'язку з цим створені логічні елементи, здатні виконати просту функцію двох аргументів " АБО-НІ ", а також " І-НІ ". За допомогою кожного з цих елементів можна виразити всі основні операції булевої алгебри, а значить реалізувати будь-яку логічну функцію.

Рис. 8