Послідовний коливальний контур. Pезонанс струмів

Ми вже знаємо, що алгебраїчна форма комплексного опору Z має дійсну R і уявну jX частині

Форм. 102

 

Значення дійсної і уявної частин визначаються складом і структурою схеми. Для схеми з послідовно включеними R, L, і С елементами реактивний опір визначається

Форм. 103

 

Очевидно, що значення доданків залежить від частоти . При малих частотах ємкісна складова має велике значення, а індуктивна - мале. Тому реактивний опір схеми Х приймає ємкісною характер. При великих частотах X приймає індуктивний характер. Існує така частота при якій

Форм. 104

 

При цій частоті реактивний опір рівний нулю, а комплексний опір ланцюгу стає активним. Такий режим виділяють особливо і називають резонансним.

При резонансному режимі роботи електричного ланцюга приймають режим, при якому її опір є чисто активним.

Розрізняють два різновиди резонансних режимів: резонанс струмів і резонанс напруги.

Pезонанс струмів

Резонанс струмів виникає в ланцюзі з паралельним включенням елементів (рис.16). Такий ланцюг містить два складні потенційні вузли, а всі елементи знаходяться під однією і тією ж напругою

 

Форм. 105

 

Рис. 16

Для будь-якого з вузлів - I або I’ справедливий перший закон Кирхгофа:

Форм. 106

 

Приведемо вираз 106 до вигляду

Форм. 107

 

Підставимо в (107) замість u(t) його значення з (105) і вирішимо його

Форм. 108

 

Векторна діаграма, побудована по (108) приведена на рис. 17.

Рис. 17

Як початковий в ній прийнятий загальний для всіх елементів ланцюга вектор напруги . З цим вектором співпадає по напряму вектор струму через резистор. Його величина рівна

Форм. 109

 

Вектор струму через індуктивність відстає від вектора напруги, а вектор струму через ємність випереджає його на 90^о.

Проведемо послідовне додавання векторів Результатом додавання буде вектор Він зміщений по фазі відносно вектора на кут

Різниця векторів дає вектор реактивного струму Його величина

Форм. 110

 

Вектори утворюють трикутник струмів. Для цього трикутника справедливі вирази

Форм. 111

 

Форм. 112

 

Трикутник струмів наочно показує, що для досягнення резонансу в ланцюзі необхідно забезпечити рівність струмів у протилежних фазах I_L і I_C. Тоді результуючий реактивний струм ланцюга і кут будуть рівні нулю, а опір ланцюгу стане активним. З виразу (110) видно що може бути рівне нулю при дотриманні умови

Форм. 113

 

Звідси легко визначити:

- частоту на якій наступає резонанс (резонансну частоту) при заданих значеннях елементів L і C.

Форм. 114

 

- значення одного з елементів L або C, якщо задані резонансна частота і інший елемент

Форм. 115

 

Визначимо значення струму всього ланцюга і струмів, що протікають в її гілках в режимі резонансу.

Значення струму всього ланцюга I₀, що діє на частоті легко знайти по (111)

Форм. 116

 

Але це значення рівне струму, що протікає через активний опір ланцюгу I_R тобто

Форм. 117

 

Струм, що протікає через елемент L визначимо за законом Ома

Форм. 118

 

Підставляючи в (118) замість U його значення з (116) отримаємо

Форм. 119

 

Аналогічно визначаємо вираз для струму через елемент

Форм. 120

 

Беручи до уваги (113) неважко зробити вивід про те, що струми протікають через індуктивний і ємкісною елементи рівні по величині, але протилежні по фазі. Величина Q рівна

Форм. 121

 

може бути більше одиниці, в спеціальних пристроях досягає декількох десятків і сотень одиниць і називається добротністю.

Ще раз підкреслимо чудову особливість ланцюга в режимі резонансу. Струми протікають в гілках реактивних елементів можуть приймати значення в десятки і сотні разів більше загального струму ланцюга. Тому резонанс ланцюга називають резонансом струмів.

Дуже важливо і те, що вони знаходяться у протилежних фазах. Саме це указує на те, що в ланцюзі відбувається коливальний процес з частотою по передачі електричній енергії конденсатора в магнітну енергію індуктивності і навпаки. Енергія джерела на цей процес не витрачається (при ідеальних L і С). Вона витрачається тільки на подолання опору резистора R. Тому ланцюг рис.16. називають паралельним коливальним контуром.

Щоб завершити аналіз ланцюга розглянемо залежність її струмів і напруги від частоти (рис. 18). Струм, що протікає через елемент R, - iR визначається законом Ома і не залежить від частоти. Струм через ємкість Іc згідно (120) знаходиться у прямій пропорційній залежності вид частоти, а струм через індуктивність І_L - знаходиться у зворотній пропорційній залежності.

Рис. 18

На частоті вони рівні по величині, але протилежні по напряму. Загальний струм ланцюга визначається сумою трьох струмів. Тому він має велике значення на частотах, дальніх від резонансної, але приймає значення iR на резонансній частоті. Фізично це означає що на резонансній частоті провідність ланцюга мінімальна (вона рівна провідності тільки елементу R).

Тому падіння напруги між вузлами 1-1’ максимально на частоті і має вид резонансної прямої (рис. 19).

Рис. 19

Через ці якості паралельний коливальний контур широко застосовують в радіо і радіотехнічних пристроях для виділення сигналів на заданій частоті.

 

Резонанс напруги

Резонанс напруги виникає у ланцюгах з послідовним включенням елементів (рис.20)

Рис. 20

Відомо, що комплексний опір струмів ланцюгу визначається виразом.

Форм. 122

 

За визначенням резонанс в ланцюзі рис.20 наступає коли виконається умова

Форм. 123

 

Звідси видно, що резонанс в ланцюзі виникає на частоті

Форм. 124

 

Очевидно також, що

Форм. 125

 

Бачимо, що отримані вирази повністю відповідають (114) і (115). Це підтверджує єдність фізичної суті різних видів резонансу.

Визначимо струм і напругу всього ланцюга, а також падіння напруги на її окремих елементах в режимі резонансу.

Оскільки опір всьому ланцюгу в режимі резонансу мінімально і рівне R то струм в ній максимальний і рівний

Форм. 126

 

а падіння напруги визначається е р с джерела - Е.

Падіння напруги на окремих елементах легко знайти за законом Ома. Так, падіння напруги на резисторі R рівне U

Форм. 127

 

Тривіальний, з точки зору математики, результат цікавий по фізичній суті. Вся напруга джерела виділяється на одному елементі ланцюга.

Падіння напруги на індуктивності рівне

Форм. 128

 

Величина

Форм. 129

 

називається добротністю і може приймати значення десятків і сотень одиниць. Значить, падіння напруги на індуктивності може в десятки і сотні разів перевищувати е р с джерела.

Падіння напруги на ємкості рівне

Форм. 130

 

Оскільки то падіння напруги на ємності рівне по величині падінню напруги на індуктивності, але згідно (113) вони протилежні по знаку. Відношення напруги на індуктивності або на ємкості в режимі резонансу до струму в цьому режимі називають характеристичним опором причому

Форм. 131

 

Через те що

Форм. 132

 

даний режим названий резонансом напруги. Протилежні фази напруги указують на те, що в ланцюзі відбувається такий же коливальний процес з частотою як і в паралельному коливальному контурі.

Тут також енергія джерела витрачається тільки на подолання опору резистора R. Тому ланцюг називається послідовним коливальним контуром.

Завершимо аналіз резонансу напруги розбором частотної залежності струму ланцюга (pис. 20) і падінь напруги на елементах L і C від частоти (рис. 21).

Рис. 21

На малюнку пунктиром відмічений графік е р с. Падіння напруги на ідеальній індуктивності при рівно нулю. Із збільшенням частоти опір індуктивності, а значить і падіння напруги на ній збільшується. Коли частота спрямовується в нескінченність опір Х_l також спрямовується в нескінченність. При цьому падіння напруги прагне до Е. Проміж крайніми крапками існує екстремум напруги який знаходиться по формулі

Форм. 133

 

Частота, на якій досягається цей максимум визначається виразом

Форм. 134

 

Опір ємкості на частоті рівно нескінченності і означає напругу на її обкладаннях рівне E. Із збільшенням частоти опір ХС зменшується, а при прагне до нуля.

Між крайніми крапками також існує екстремум причому

Форм. 135

 

Частота, на якій досягається цей максимум визначається виразом

Форм. 136

 

Оскільки підкорінний вираз в (134) і (136) завжди менше одиниці те очевидне, що

Форм. 137

 

Крім того

Форм. 138

 

Через ці особливості єдиною вірною ознакою настання резонансу в ланцюзі є максимум струму, значення якого змінюється із зміною частоти по резонансній кривій.