Послідовне та паралельне з'єднання резистивного, індуктивного та ємкісного елементів.

Комплексні опори та провідність елементів електричних ланцюгів

Комплексний опір

Введення комплексного представлення струмів і напруги вимагає визначити і опір елементів електричних ланцюгів в комплексній формі - Z.

Добре відомо, що опір резистора визначається як відношення напруги на резисторі до струму, що протікає через нього. Якщо напруга і струм представлені в комплексній формі, то

Форм. 34

Але на попередні було встановлено, що Тому

Форм. 35

Таким чином бачимо, що комплексний опір резистора виражається тільки дійсним числом. Воно не вносить фазових спотворень між струмами і напругою. Щоб підкреслити цей факт такий опір часто називають активним.

Комплексний опір ємкості визначається відношенням

Форм. 36

Бачимо, що комплексний опір ємкості змінному струму виражається уявним числом. Уявна одиниця -j фізично визначає зрушення фаз між струмом і напругою на 90^о. Це добре узгоджується з її максимальним значенням

Форм. 37

Тому на ємкості напруга відстає від струму на 90^о. Це означає, що спочатку росте струм, що протікає через конденсатор, потім, з деяким відставанням збільшується заряд і напруга.

Коефіцієнт визначає величину опору в Омах. Він обернено пропорційний частоті, та називається ємкісним опором і позначається ХС, тобто

Форм. 38

Комплексний опір індуктивності визначається відношенням

Форм. 39

І в цьому випадку опір виражається уявним числом. Але оскільки це число позитивне, то це означає, що на індуктивності напругу випереджає струм на 90^о.

Коефіцієнт визначає величину опору в Омах. Він пропорційний частоті, називається індуктивним опором і позначається ХL, тобто

Форм. 40

Щоб підкреслити той факт, що опори ємкості і індуктивності виражаються уявними числами, їх називають реактивними опорами, а конденсатор і індуктивність - реактивними елементами ланцюга.

Визначимо комплексний опір електричного ланцюга, що має активні та реактивні елементи, наприклад послідовно підключені R, L і С елементи (рис. 8). Такий ланцюг є замкнутим контуром і, тому, для нього справедливий другий закон Кирхгофа.

Рис. 8

 

Форм. 41

У останньому виразі проведемо заміну символів миттєвої напруги і е р с на їх комплексні зображення. Такий прийом отримав назву символічного методу. Оскільки струм протікає через всі елементи послідовного ланцюга однаковий, то (41) приходить до вигляду

Форм. 42

Перетворимо цей вираз до вигляду

Форм. 43

За визначенням вираз в правій частині останньої рівності є ні що інше, як комплексний опір ланцюгу рис.8, тобто

Форм. 44

де R - дійсна частина або активний опір ланцюгу.

- уявна частина або реактивний опір ланцюгу.

Вираз (44) представляє комплексний опір у алгебраїчній формі. Співвідношення між складовими комплексного опору знаходяться в повній відповідності із співвідношеннями для комплексного представлення струму. Але для більшої наочності вводиться поняття трикутника опору (рис.9).

Рис. 9

У цьому трикутнику - гіпотенуза визначається модулем комплексного опору Z, причому

Форм. 45

Катет, що протилежний катету R, - реактивним опором X, причому

Форм. 46

Кут визначає зміщення фаз між струмом і напругою, який вноситься комплексним опором ланцюгу, причому

Форм. 47

Враховуючи вирази (45) - (47) легко перейти від алгебраічної до тригонометричної форми комплексного опору

Форм. 48

а застосувавши формулу Ейлера отримати показову форму

Форм. 49

Тепер можна записати закон Ома для ділянки ланцюга без джерела е р с в комплексному зображенні

Форм. 50

Вираз (50) показує, що в ланцюгах змінного струму модуль струму визначається відношенням модуля напруги (його амплітудного значення) до модуля комплексного опору, а фаза струму визначається різницею фаз напруги і комплексного опору. Звідси витікає ще один корисний для практики вираз

Форм. 51

Комплексна провідність

У ланцюгах постійного струму провідність резистора визначається відношенням струму до напруги:

Форм. 52

Ця величина обернено пропорційна опору.

У ланцюгах змінного струму слід користуватися поняттям комплексної провідності, яка позначається Y і, в загальному випадку, містить дійсну G і уявну B частині:

Форм. 53

Як і в ланцюгах постійного струму комплексна провідність ділянки ланцюга зворотна комплексному опору, тобто

Форм. 54

Звідси

Форм. 55

де Y - модуль комплексної провідності.

Співвідношення між складовими комплексної провідності аналогічні співвідношенням між складовими комплексного опору.

Комплексна провідність резистора

Форм. 56

Комплексна провідність конденсатора

Форм. 57

Комплексна провідність індуктивності

Форм. 58

На закінчення зазначимо, що комплексний опір зручно застосовувати для аналізу ділянок електричного ланцюга з послідовним включенням елементів, а комплексну провідність - для ділянок з паралельним включенням елементів.