Закони Ома і кірхгофа в комплексній формі. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Закони Ома і кірхгофа в комплексній формі.



Комплексне представлення синусоїдальних струмів і напруги дозволяє сумістити простоту і наочність векторного уявлення з точністю уявлення дійсними функціями часу. Для переходу від графічного до комплексного уявлення замінимо осі декартової системи координат (рис. 4) таким чином:


Рис. 4

- вісь Х на вісь чисел Re, що є дійсними;

- вісь Y на вісь уявних чисел Im.

При цьому довжина вектора струму (напруги) як і раніше визначається амплітудним значенням, але позначається як комплексна величина, тобто Im(Um).

Кут нахилу вектора до осі реальних чисел Re у момент часу t=0 залишається тим самим, тобто

Позначимо проекцію вектора Im на вісь реальних чисел де j - уявна одиниця, причому а проекцію Im на вісь уявних чисел Тоді очевидно, що


Форм. 16

де j - уявна одиниця, причому

Вираз (16) визначає комплексну форму алгебраїчного представлення синусоїдального струму. Вона зручна для виконання дій складання і віднімання струмів (напруги).

Дійсно, для складання двох комплексних чисел досить окремо скласти дійсні і уявні числа.

Підставимо в (16) замість їх значення. Тоді отримаємо


Форм. 17

де модуль комплексного представлення струму, чисельно рівний амплітудному значенню.

Вираз (17) визначає комплексну тригонометричну форму представлення синусоїдального струму. З рис. 4 очевидно, що


Форм. 18

Бачимо, що вирази (16) і (17) характеризують параметри синусоїдального струму, не залежні від часу, - дійсної амплітуди і початкової фази

Введемо залежність від часу. Тоді


Форм. 19

де


Форм. 20

 


Форм. 21

Тепер очевидно, що реальна частина (19) характеризує, реально існуюче коливання, що описується дійсною функцією косинуса, уявна частина - це ж коливання в синусній формі.

За допомогою формули Ейлера від виразу (17) переходять до показової форми комплексного представлення струму


Форм. 22

а з урахуванням залежності від часу


Форм. 23

Комплексна показова форма зручна для виконання дій множення, ділення, піднесення до ступеня або витягання кореня. Дійсно, для множення двох комплексних чисел в показовій формі (22) досить перемножити їх модулі, а аргументи (показники ступеня) скласти.

Представимо струми і напругу на пасивних елементах, що володіють активним опором, ємкістю і індуктивністю в комплексній формі. Маємо


Форм. 24

Для елементу з активним опором справедлива рівність


Форм. 25

або


Форм. 26


Форм. 27

Але вираз (27) можливий тільки у тому випадку, коли Таким чином, ми прийшли до важливого висновку про те, що на елементі з активним опором струм і напруга співпадають по фазі, тобто максимуми струму і напруги мають місце в один і той же момент часу, Вектори струму і напруги співпадатимуть (рис. 5).


Рис. 5

Для елементу що має ємкість відомий вираз


Форм. 28

Застосовуючи до нього комплексну форму представлення струму і напруги отримаємо


Форм. 29

Враховуючи, що приходимо до виразу


Форм. 30

або


Форм. 31

Таким чином бачимо, що напруга на ємкості відстає від струму на 90о (див. рис.6)


Рис. 6

Для елементу, що має індуктивність трансформуємо вираз. Тоді


Форм. 32

або


Форм. 33

Бачимо, що напруга на індуктивності випереджає струм на 90о (див. рис. 7).


Рис. 7

На закінчення відзначимо що вирази (27), (31) і (33) не мають тимчасових залежностей. Це спрощує розрахунки електричних ланцюгів, зводячи їх до алгебраїчних операцій з комплексними числами. Саме тому комплексне уявлення широко використовується при аналізі електричних ланцюгів змінного струму.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-22; просмотров: 287; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.80.173.25 (0.007 с.)