Алгоритм вычисления обратной матрицы второго и третьего порядков (метод присоединённой матрицы)

1. Найдите определитель матрицы . Если определитель отличен от нуля, то матрица имеет обратную матрицу.

2. Транспонируйте матрицу . (Поменяйте местами столбцы и строки матрицы с сохранением порядка, т.е. первый столбец поставьте на месть первой строки, второй столбец на место второй строки и т.д.).

3. Найдите алгебраические дополнения элементов матрицы . Заменим каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением: , – дополнительный минор, он равен определителю матрицы, которая получается вычёркиванием i -ой строки и j -го столбца. Составьте союзную (присоединённую) матрицу из алгебраических дополнений транспонированной матрицы.

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы по формуле: .

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице , если дана матрица .

Решение: Применим алгоритм нахождения обратной матрицы.

1. Найти определитель матрицы . Если определитель отличен от нуля, то матрица имеет обратную матрицу.

Матрица имеет обратную матрицу, так как .

2. Найдем матрицу , транспонированную к матрице поменяем строки и столбцы местами с сохранением порядка: .

3. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы . Заменим каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением: , – дополнительный минор, он равен определителю матрицы, которая получается вычёркиванием i -ой строки и j -го столбца.

.

Составим союзную матрицу:

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Проверим правильность вычисления обратной матрицы по формуле:

Ответ.

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 3. Найдите матрицу, обратную к данной

Задание 4. Решить систему: а) методом Крамера; б) методом обратной матрицы.

а)Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

Система имеет единственное решение при условии, что определитель системы отличен от нуля, т.е. , которое определяется по формулам (*), где

Формулы (*) называются формулами Крамера.

Теорема Крамера. Система уравнений с неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта

1. и каждый определитель . Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то есть каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число . Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. и хотя бы один из определителей . Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Например, для системы из трёх уравнений:

Ответ. .

Алгоритм:

1. Вычислите определитель матрицы .

2. Заменяя первый второй и третий (поочередно) столбцы матрицы на столбец свободных членов, вычислите дополнительные определители

3. Подставить найденные определители в формулу (*): .

4. Запишите ответ.

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

Решение.

1. Найдем определитель матрицы системы . Выпишем столбец свободных членов

2. Заменим первый столбец матрицы на столбец из свободных членов и вычислим полученный определитель . Тогда .

Заменим второй столбец матрицы на столбец из свободных членов и вычислим полученный определитель

. Находим неизвестную .

Для нахождения неизвестной в матрице заменяем третий столбец на столбец из свободных членов.

3. Находим неизвестную .

4. Ответ. .

б) Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы (матричным методом)

Рассмотрим систему уравнений

Данная система может быть записана в матричном виде , где

Тогда решение системы (3.1.) имеет вид ( обратная матрица).

Алгоритм:

1. Составить матрицу системы из коэффициентов при переменных , матрицу- столбец свободных членов .

2. Найти матрицу , обратную к матрице .

3. Умножить обратную матрицу на матрицу столбец свободных членов

Пример. Решить систему методом обратной матрицы (матричным методом)

Решение.

Составить матрицу системы из коэффициентов при переменных , матрицу- столбец свободных членов . Найдем матрицу обратную матрице системы: .

Алгебраические дополнения

, ,

, , ,

, , .

Матрица из алгебраических дополнений .

Обратная матрица

Находим решение системы

, ,

Ответ. , , .

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 4. Решите систему: а) методом Крамера; б) методом обратной матрицы

Задание 5. Решить систему методом Гаусса.

При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе со ступенчатой матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной ступенчатой системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1) умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число;

2) сложение и вычитание уравнений;

3) перестановку уравнений в системе;

4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Алгоритм:

1.Выпишите расширенную матрицу системы

2. Методом элементарных преобразований свести расширенную матрицу к ступенчатому виду

3. Запишите систему, эквивалентную матрице, полученной в пункте 2.

4. Выполняя «обратный ход» решите полученную систему. «Поднимитесь» от последнего уравнения к первому.

5. Запишите ответ.

Примервыполнения задания.

а)

Решение. Запишем расширенную матрицу системы

.

Обведем первый ненулевой элемент первой строки и укажем знаком элементы, которые нужно занулить

 

 

Умножаем первую строку на 3 и складываем со второй

Результат запишем вместо второй строки. Умножаем первую строку на 2 и вычитаем из результата третью строку

Результат запишем вместо третьей строки. Умножаем первую строку на 2 и вычитаем из результата четвертую строку

Результат записываем вместо четвертой строки

 

 

 

Первый ненулевой элемент во второй строке указан и обведены элементы подлежащие занулению. Какие элементарные преобразования нужно сделать для зануления требуемых элементов? После преобразований получаем эквивалентную матрицу

 

 

Запишем эквивалентную систему

В эквивалентной системе получили противоречивое равенство (последняя строка 0=1). Поэтому система несовместна.

Ответ. Система несовместна.

б) Решить систему методом Гаусса

Решение. 1.Запишем расширенную матрицу системы

 

 

Здесь уже указан первый ненулевой первой строки и обведены элементы под ним, которые нужно занулить. Для зануления требуемых элементов выполнить действия:

Из первой строки вычесть две вторые строки. Результат записать вместо второй строки.

Первую строку умножить на 3 и из результата вычесть две третьи строки. Результат записать вместо третьей строки.

Из первой строки вычесть две четвертые строки. Результат записать вместо четвертой строки. Результат всех действий

–

+

 

 

Здесь указан первый ненулевой элемент второй строки и обведены элементы под ним, которые нужно занулить. Схематически указаны требуемые действия:

Вторую строку умножаем на 13 и из результата вычитаем девять третьих строк.

Вторую строку складываем с тремя четвертыми строками. Результат действий

 

 

 

Нулевую строку вычеркиваем. Вторую строку можно разделить на 3. Результат действий

-6

 

Первые ненулевые находятся в первом, третьем и пятом столбце. Поэтому , , –зависимые переменные, остальные , – независимые переменные. Запишем эквивалентную систему

Независимые переменные переносим в правые части уравнений

4. Поднимаемся от последнего уравнения к первому

1)

2) .

3)

Ответ: , , .

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 5. Решите систему методом Гаусса

Задание 6. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и

Площадь параллелограмма, построенного на векторах равна длине вектора, равного векторному произведению заданных векторов.

Алгоритм:

1. Найдите векторное произведение векторов по формуле ,

коэффициенты при единичных векторах полученного произведения есть координаты вектора .

2. Вычислите модуль найденного векторного произведения по формуле

.

3. Запишите ответ.

Пример решения задания: Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Коэффициенты при единичных векторах есть координаты вектора .

Найдем его длину . Длина вектора и есть искомая площадь.

.

Выберите свой вариант и решите задачу.