Алгоритм вычисления пределов функций

а) представляющих, дробно-рациональную функцию;

б) содержащих, тригонометрические функции

с) имеющих, вид , где

1. Подставить предельное значение аргумента в исследуемое выражение. Если при этом получено конечное значение, то оно является пределом данной функции.

2. Определить тип неопределенности:

. Заметим, что и не являются неопределенностью, в первом случае предел равен нулю, во втором - .

Пояснение:

а) если функция является дробно- рациональной (сл. а), то далее выполняются пункты 3,4,5 алгоритма.

б) если функция содержит тригонометрические выражения, а неопределенность типа (сл. б), то далее выполняются пункты 6,7 алгоритма.

с) если выражение представляет неопределенность типа (сл. с), выполняется пункт 8.

3. Выписать старшую степень числителя и знаменателя , если функция представляет собой дробно - рациональную и получена неопределенность типа .

4. Поделить числитель и знаменатель функции на .

5. Найти предел полученного выражения.

6. Заменить данное выражение эквивалентным ему более простым выражением, используя таблицу эквивалентных бесконечно- малых (следствие из 1 замечательного предела):

7. Найти предел эквивалентного выражения.

8. Преобразовать выражение к виду, позволяющему использовать 2 замечательный предел.

. Операции с пределами обобщим в виде таблицы
Операции			Результат операции
Сумма
		(неопределённость)
Произведение
		(неопределённость)
Частное
		(неопределённость)
		(неопределённость)
Степень
		(неопределённость)
		(неопределённость)
		(неопределённость)

Два замечательных предела
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Наиболее часто встречающиеся пределы
1.	2.
3.	4.

Пример 1. Найти .

Решение.

Пояснение. Непосредственно теорему о пределе дроби применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби при х→∞ не имеют конечных пределов. Имеем неопределенность вида ∞/∞. Для раскрытия ее разделим числитель и знаменатель на х в наивысшей степени, т.е. на х⁴. Получим функции , которые являются бесконечно малыми при х → ∞, и поэтому их пределы равны нулю.

Вообще предел отношения двух многочленов при :

Пример 2. Найти .

Решение. Здесь имеется неопределенность вида 0/0. Дня ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на сопряжённый множитель: , тогда в числителе получим разность квадратов: и при х-1≠0 дробь становится сократимой и имеющая смысл при х=1. Таким образом,

Пример 3. Найти .

Решение. Вычислим: Убедившись, что при функция, представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности (случай ), далее преобразуем функцию так, чтобы использовать 2-ой замечательный предел.

1) Представим в виде .

Пусть Итак,

2) .

3) =

Пример 4. Найти .

Решение. Вычислим: , т.е. неопределённость типа .

Воспользуемся 1-ым замечательным пределом.

а) Раскрытие неопределенности при вычислении предела в дробно рациональной функции.

Алгоритм:

1) убедимся, что при имеет место случай ;

2) определим наивысшую степень переменной , присутствующую в дробно рациональной функции;

3) разделим числитель и знаменатель дроби на ;

4) заметим, что при , являются бесконечно малыми;

5)что бы получить окончательный результат, воспользуемся теоремами о пределах суммы, произведения, частного.

б) Раскрытие неопределенности при вычислении предела в дробно рациональной функции.

Алгоритм:

1) убедимся, что при имеет место неопределенность вида (в этом случае будет корнем каждого из квадратных трехчленов в числителе и знаменателе);

2) числитель и знаменатель дробно рациональной функции, стоящей под знаком предела, разложим на множители по формуле ;

3) полученную после разложению на сомножители дробно рациональную функцию, сократим на ;

4) убедимся, что под знаком предела получена функция непрерывная в точке (дробно рациональная функция непрерывна в точке , если в точке знаменатель не равен 0);

5) вычислим предел в точке , воспользовавшись теоремой: предел функции непрерывной в точке равен значению функции в этой точке.

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 12. Вычислите предел
	а). б)		а) ; б)
	а) б).		а) ; б).
	а) ; б)		а) ; б) .
	а) ; б) .		а) ; б) .
	а) ; б) .		а) ; б) .

Задание 13. Вычисление производной функции.

Алгоритм решения

1) выделим маркером или подчеркнем правила дифференцирования, приведенные ниже, необходимые для решения примера:

Таблица производных
№/п	Формула	№/п	Формула
	, где		,где
	, где		, где ;
	, где		, где ;
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где
			, где

 

2) выражения с радикалами, если они присутствуют в примере, представим в виде степени, воспользовавшись формулой ;

3) воспользуемся теоремой: производная сложной функции , где , равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной , т.е. ;

4) выделим маркером или подчеркнем формулы из таблицы производных, приведенной ниже, необходимые для решения примера:

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 13. Вычислите производную функции

Задание 14.Вычисление неопределенного интеграла с помощью замены переменной.

Таблица интегралов
№/п	Формула	№/п	Формула
			;

Подведение под знак дифференциала
№/п	Формула	№/п	Формула

Алгоритм:

1. Выполним замену переменной под знаком интеграла, воспользовавшись, указанной в примере подстановкой и формулой дифференциала функции:

(например, если , то ); в результате преобразований будет получен один из табличных интегралов, приведенных ниже.

2. Подчеркнем или выделим маркером соответствующий полученному решению табличный интеграл; для нахождения неопределенного интеграла, воспользуемся выделенной формулой; под знаком интеграла выполним обратную замену, т.е. выразим через переменную .