Раздел 2. «Аналитическая геометрия»

Примерные вопросы для экзаменов и самопроверки

(вопросы изучаются перед выполнением контрольной работы)

1. Расстояние между двумя точками.

2. Деление отрезка в данном отношении.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

5. Общее уравнение прямой. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Задание 7. Построить уравнение прямой в прямоугольной системе координат, приведя его к виду «в отрезках» и найти угловой коэффициент прямой.

а) Составим уравнение прямой «в отрезках».

Алгоритм решения:

1. Имеем общее уравнение прямой вида: .

2. Выполним преобразования с этим уравнением. Пусть , перенесем в правую часть равенства и разделим обе части уравнения на : , получим

или . Обозначим , , получим уравнение прямой «в отрезках»: , где и – отрезки, отсекаемые прямой на осях и соответственно.

б) найдём угловой коэффициент прямой.

Алгоритм решения:

Выразим из общего уравнения прямой переменную , получим , , , обозначим , , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где – угловой коэффициент прямой, а - отрезок, отсекаемый прямой на оси .

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 7.Построить уравнение прямой в прямоугольной системе координат, приведя его к виду «в отрезках» и найти угловой коэффициент прямой.

Задание 8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку , параллельной прямой .

Алгоритм решения:

1. Привести данное общее уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом (смотри задачу №1) вида .

2. Определить угловой коэффициент . Использовать условие параллельности двух прямых.

Условие параллельности двух прямых.

1. Пусть даны две прямые: ; . Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, то есть если выполняется равенство:

2. Находим угловой коэффициент для искомой прямой. Используем уравнение прямой, проходящей через одну точку .

3. В условие задачи дана точка , коэффициент найден в пункте 3. Получаем искомое уравнение в общем виде, или уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Выберите свой вариант и решите задачу

Задание 8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку , параллельной прямой

Задание 9. Найти уравнение прямой, проходящей через точки и .

Алгоритм решения:

1. Используем уравнение прямой, проходящей через две точки: .

Подставляем координаты точек и в данное уравнение.

2. Из полученного равенства переходим к уравнению прямой в общем виде, или уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 9. Найти уравнение прямой, проходящей через точки и

Задание 10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно прямой .

Алгоритм:

1. Привести данное общее уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом (смотри задачу №1) вида .

2. Определить угловой коэффициент .

3. Использовать условие перпендикулярности двух прямых.

Условие перпендикулярности двух прямых.

1. Пусть даны две прямые: ; .

2. Две прямые перпендикулярны, если выполняется равенство: .

3. Находим угловой коэффициент для искомой прямой. Используем уравнение прямой, проходящей через одну точку . В условие задачи дана точка , коэффициент найден в пункте 3.

4. Получаем искомое уравнение в общем виде, или уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 10. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно прямой

Задание 11. Найти угол между прямыми и

Алгоритм:

1. Привести данное общее уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом (смотри задачу №1) вида .

2. Привести данное общее уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом (смотри задачу №1) вида .

3. Острый угол между этими прямыми определяем по формуле: .

4. Угол приближённо вычисляем по таблице.

Выберите свой вариант и решите задачу.

Задание 11. Найти угол между прямыми и