Отношения между простыми суждениями.

Логический квадрат

Для иллюстрации отношений между простыми суждениями различных типов используется логический квадрат. Он и в самом деле представляет собой геометрический квадрат с проведенными в нем диагоналями, в углах которого мы ставим буквы A, E, I, O, обозначающие типы суждений. Между этими суждениями с одними и теми же субъектом и предикатом возможны следующие отношения: противоречия, или контрадикторности; противоположности (противности), или контрарности; подпротивности, или субконтрарности; подчинения. Все эти отношения наглядно представлены логическим квадратом (рис. 2.2).

 

Схема 2. Логический квадрат

 

Самым простым является отношение подчинения, существующее между общими и частными суждениями: А – I, Е – О. Общие суждения называются подчиняющими, а частные – подчиненными. Если общее суждение истинно, то подчиненное суждение также истинно, но не наоборот. Когда частное суждение ложно, то соответствующее общее суждение будет обязательно ложным, но не наоборот.

Между суждениями типа А – Е имеет место отношение противоположности (противности): эти суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Проверьте это положение по логическому квадрату на примерах: «Все металлы есть элементы» – истинно, «Все бизнесмены корыстолюбивы» – ложно.

Отношение между суждениями типа I – O называют отношением подпротивности: суждения этого типа могут быть одновременно истинными («Некоторые люди искренни»), однако они не могут быть одновременно ложными («Некоторые люди не имеют сердца»).

В отношении противоречия находятся суждения А и О, E и I, расположенные на диагоналях логического квадрата. Для этого отношения характерно то, что противоречащие друг другу суждения не могут быть одновременно истинными, но не могут быть и одновременно ложными. Если ложно суждение «Все люди злы», то истинным будет «Некоторые люди не злы».

 

Модальные суждения

Еще одно деление простых суждений на виды – по модальности (от лат.modus – образ, способ). Модальность – это дополнительная информация о характере зависимости между реальными явлениями, о логическом статусе суждений, об оценочных, регулятивных и других характеристиках. Приведем примеры модальных суждений: «Ни один человек не может жить без пищи», «Каждый гражданин обязан соблюдать законы», «Возможно, что существуют внеземные цивилизации», «Иногда неудовлетворительные оценки (как, впрочем, и отличные) студенты получают на экзаменах случайно», «Замечательно, когда люди приветствуют друг друга при встрече», «Неизвестно, знал ли он о моих подозрениях».

Наиболее важными и распространенными выступают четыре вида модальности:

· алетическая, или истинная, модальность (от греч. aleteja – истина) выражает характер связи между мыслимыми предметами, а, следовательно, между субъектом и предикатом суждения. Модальные слова – «возможно», «необходимо», «случайно» и их синонимы. С точки зрения алетической модальности различают суждения:

а) ассерторические (суждения о факте, действительности чего-либо);

б) проблематические (суждения о возможности чего-либо);

в) аподиктические (суждения о необходимости чего-либо);

· деонтическая, или нормативная, модальность (от греч. deon – нужное, должное) относится к деятельности людей, нормам их поведения в обществе. Модальные слова – «разрешается», «запрещается», «обязательно» и их аналоги. С точки зрения деонтической модальности различают:

а) суждения о наличии (отсутствии) какого-либо права;

б) суждения о наличии (отсутствии) какой-либо обязанности;

· эпистемическая, или познавательная, модальность (от греч. episteme – знание) означает характер и степень достоверности знания. Модальные слова – «доказуемо», «недоказуемо», «опровержимо» и им подобные. С точки зрения эпистемической модальности различают суждения, основанные на вере, и суждения, основанные на знании;

· аксиологическая, или ценностная, модальность (от греч. axios – ценный) выражает отношение человека к ценностям – материальным и духовным. Модальные слова – «хорошо», «плохо», «безразлично» (в ценностном отношении) и др.

Все формы проявления модальности суждений исследуются модальной логикой, это обширная, относительно самостоятельная и быстро развивающаяся отрасль современной логики.

 

Сложное суждение

Сложным называется суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений. Простые суждения обозначаются отдельными латинскими буквами: a, b, c, d,… Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, его количества и качества, мы удерживаем лишь одно свойство суждения – то, что оно может быть истинным или ложным. Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «или» и т. п., так и сложные суждения строятся из простых с помощью логических связок.

Вопрос об истинности или ложности простых суждений в конечном итоге всегда решается посредством обращения к той реальности, к которой относятся наши суждения. Но как установить истинность или ложность высказываний с логическими связками, т. е. сложных суждений? Поскольку это не вопрос конкретных наук и материальной практики, а чисто логический, в логике приняты договоренности относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой считаются истинными, а когда – ложными. Соглашения такого рода выражаются таблицами истинности.

Для характеристики истинностных значений сложных суждений необходимо знать определения основных логических операций, посредством которых образуются сложные суждения иp простых и способы табличного определения их истинности.

· Конъюнкция двух или нескольких простых суждений образуется путем их объединения логической связкой «и» (в естественном языке ей соответствуют союзы «и», «а», «но», «однако», «да», «хотя» и т. п.). Чаще всего конъюнкция обозначается символом «&». Пример: «Никто не забыт, и ничто не забыто», схема – a & b. Такое сложное суждение называют соединительным.

Условия истинности суждения a & b могут быть продемонстрированы таблицей истинности. Для построения такой таблицы в левых столбцах важно соблюдать порядок чередования значений «истина» и «ложь» для конъюнктов. Для этой цели у суждения b значения «истина» и «ложь» чередуются друг за другом, а у суждения a два раза используется значение «истина», два раза – «ложь».

 

 

Суждение a & b истинно только в том случае, если истинны входящие в него конъюнкты; во всех других случаях конъюнктивное суждение ложно.

 

 

Вообще, количество строк в таблице задано количеством переменных. Они вычисляются по формуле: 2ⁿ, где n – количество переменных. Если переменных 2 (как в примере), то строк будет 4; если 3 – 8; если 4 – 16 т.п.

Приведем пример построения таблицы истинности для трех переменных (a, b, c).

 

а	b	c
и	и	и
и	и	л
и	л	и
и	л	л
л	и	и
л	и	л
л	л	и
л	л	л

 

Обратите внимание, что чередование значений «истина»-«ложь» у переменной aдано через 4, у переменной b – через 2.

Таким способом строится таблица не только для соединительных, но и для любых других сложных суждений.

· Дизъюнкция двух или нескольких простых суждений образуется путем объединения их логической связкой «или» («либо»). Оператор дизъюнкции обозначается символом «V». Пример: «У данногобольного растяжение связок или ушиб», схема – а V b. Сложное суждение такого типа называют разделительным.

Рассмотрим истинность дизъюнкции, для чего вновь обратимся к таблице истинности:

 

Суждение а V b истинно во всех случаях, кроме того, когда два его члена (дизъюнкта) ложны.

 

· Строгая (исключающая) дизъюнкция объединяет простые суждения исключающей связкой «или – или» («либо – либо») и обозначается символом «» или «V». К примеру, формальный вид суждения «Пациент либо жив, либо мертв» таков: a b.

Истинность строгой дизъюнкции выглядит следующим образом (см. ниже расположенную таблицу):

 

 

Поскольку a и b исключают друг друга, постольку они не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными.

· Импликация состоит в образовании сложного суждения из двух простых посредством логической связки, обозначаемой словами «если…, то», приблизительно соответствующей условному предложению в естественном языке, и выглядит следующим образом: a → b. Пример: «Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается».Первый член импликации называется основанием (антецедентом), второй – следствием (консеквентом). Такое суждение называют условным.

Составим таблицу истинности для импликативного суждения (см. ниже следующую таблицу):

 

Импликация ложна только в том случае, если из истинности антецедента вытекает ложность консеквента. В других случаях импликативное суждение истинно.

 

 

· Эквивалентность (равнозначность) объединяет два суждения с взаимной (прямой и обратной) условной зависимостью. Она называется еще двойной импликацией, образуется посредством логической связки «если и только если», «тогда и только тогда, когда», обозначается так: a ↔ b или a ≡ b. «Если и только если человек достиг пенсионного возраста, то он имеет право на получение пенсии по возрасту».

 

Если оба простых суждения принимают одинаковые значения, то эквивалентное суждение истинно, в других случаях – ложно.

· Отрицание, с помощью которого из данного суждения образуется противоречащее ему высказывание. Языковая форма – «не», «неверно, что», символическая – «» или « а». Например, «Неверно, что Земля шар», схема – .

При отрицании истинное значение суждения сменяется на ложное, и наоборот.

 

 

Мы рассматривали до сих пор лишь самые элементарные сложные суждения, состоящие из двух простых суждений и одной логической связки. Однако логические связки могут соединять и сложные суждения, порождая, таким образом, все более сложные структуры. Например, суждение «Мы получим большое удовольствие, если пораньше освободимся и сходим в сауну» в записи выглядит так: (b&c)→a.

Сводная таблица истинности сложных суждений строится по следующему принципу: какими бы ни были суждения a или b, если они принимают значения, выписанные в двух левых столбцах приведенной ниже таблицы, то суждения, образованные связыванием их отрицанием, конъюнкцией, дизъюнкцией (простой и строгой), импликацией, эквиваленцией, принимают значения, выписанные в шести правых столбцах.

 

a	b		a & b	а V b	a b	a→b	a≡b
и	и	л	и	и	л	и	и
и	л	л	л	и	и	л	л
л	и	и	л	и	и	и	л
л	л	и	л	л	л	и	и

 

Нетрудно заметить, что определение истинности сложного суждения сводится, в сущности, к вычислению ее на основе значений истинности простых суждений. При некотором навыке процесс вычисления с помощью таблицы можно ускорить. Сокращенный способ вычисления истинности сложного суждения основывается на установлении главной логической операции в рассматриваемой формуле.

Вопросы для самопроверки

1. Чем отличается логическая структура суждения от грамматической структуры предложения?

2. Приведите пример распространенного повествовательного предложения и выделите в нем логический субъект, предикат и логическую связку.

3. Чем отличается нормативная логика от классической логики? В чем состоит специфика нормативных и оценочных суждений? Какую структуру имеют нормы?

4. Какая связь существует между алетической и деонтической модальностями? Перечислите известные Вам виды модальностей.

5. Почему конъюнкцию опровергнуть легче, чем дизъюнкцию?

 

Задачи и упражнения