Закон повного струму в інтегральній формі

Розглянемо магнітостатичне поле нескінченно тонкого провідника зі струмом , напрямленим “від нас” (рис.2.4). При цьому крива, яка в кожній точці має дотичну, що співпадає з векто­ром за напрямком, є силовою лінією напруженості магнітного поля. На рис. 2.4 позначимо її пунктиром. В даному випадку сімейство силових ліній магнітостатичного поля є концентричні кола, а їх напрям визначається правилом правого гвинта з поступальним рухом в напряму струму .

 

Для розв'язку прямої задачі магнітостатики необхідно оцінити роботу сил магнітостатичного поля по переміщенню пробного заряду уздовж замкненої траєкторії . Ця робота визначається у загальному випадку інтегралом по замкненому контуру довільної форми (рис. 2.4):

і називається циркуляцією вектора . Контур може охоплювати струм , а може і не охоплювати його. Проаналізуємо обидва випадки.

Випадок 1: контур охоплює струм (рис.2.4). Позначимо через відстань від провідника до елемента контуру , через і – проекції відрізку на напрям і нормаль до нього відповідно. Циркуляція вектора може бути представлена сумою інтегралів:

, (2.7)

оскільки геометрична сума векторів і дорівнює . Розкриваючи в підінтегральних виразах правої частини (2.7) скалярні добутки векторів і враховуючи, що кут між векторами і дорівнює нулю, одержуємо такі співвідношення:

 

, (2.8)

 

Згідно з рис.2.4 . При цьому на основі вира­зів (2.6), (2.7) і (2.8) одержуємо:

,

звідки:

.

Це означає, що циркуляція вектора визначається значенням струму, охопленого контуром . Якщо контур охоплює провідників із струмами , то відповідно з принципу суперпозиції циркуляція сумарного магнітного поля буде дорівнювати алгебраїчній сумі цих струмів:

 

,

 

Випадок 2: контур не охоплює струму І (рис.2.5). Проведемо від провідника до контуру дві прямі, які дотикаються до нього в точках 1 і 2. При цьому замкнений контур буде розділений на дві траєкторії і . Тоді циркуляцію вектора можна представити у вигляді суми:

,

в якій перший інтеграл є робота поля по переміщенню пробного магнітного заряду по траєкторії , а другий – по траєкторії . Оскільки кути та рівні по значенню і протилежні по знаку, тому

.

 

Отже, якщо контур не охоплює струму, то робота, що виконана полем по переміщенню уздовж контуру пробного магнітного заряду, дорівнює нулю.

Об'єднуючи результати розгляду обох випадків, сформулюємо закон повного струму в інтег-ральній формі: цирку-ляція вектора по замкненому контуру чисельно дорівнює алгебраїчній сумі стру-мів, охоплених цим контуром, тобто визнача-ється виразом

. (2.9)

На основі цього зако- ну можна розв’язувати пряму задачу магнітостатики – за відомими значеннями електричних струмів знайти напруженість створеного ними магнітостатичного поля.

Однак існує ще й обернена задача – за відомими параметрами магнітостатичного поля необхідно знайти в просторі розподіл електричних струмів, які є джерелами цього поля.

За допомогою (2.9) не можна відповісти на питання про наявність струму усередині контуру, оскільки алгебраїчна сума струмів може дорівнювати нулю і при їх наявності, якщо існуючий сумарний струм одного знаку усередині контуру дорівнює сумарному струму іншого знаку. Але ж при розв'язуванні оберненої задачі необхідно знайти значення струму в кожній точці простору. Тому необхідно перейти до нескінченно малої частини області простору, тобто до закону повного струму в диференційній формі.