Магнітне поле постійного струму. Закон біо–савара

Протікання в провіднику постійного електричного струму приводить до з'явлення навколо нього магнітного поля. Основним його параметром є вектор напруженості , яка відповідно до закону Кулона для магнітних зарядів, визначається співвідношенням:

, (2.1)

де – магнітний заряд; – абсолютна магнітна проникність середовища; – відстань до точки нагляду; – одиничний вектор.

На відміну від електричного заряду ізольований магнітний заряд одного знаку в природі не існує. Скільки б не зменшували розміри на-магніченого тіла, у нього завжди будуть існувати два полюси. Але для побудови теорії магнітостатики за аналогією з електростатикою доцільно отримати магнітний заряд одного знака хоч би формально. Це можна зробити, якщо магнітний стрижень (рис. 2.1) помістити в металеві ошурки, то останні будуть стягнуті до полюсів тим сильніше, чим більше довжина стрижня і менше його товщина . Припустимо, що 0, . При цьому взаємодія полюсів і стане зникаюче малою, тобто магнітні заряди будуть формально розділеними. Одержана таким чином нескінченно тонка і нескінченно довга магнітна “спиця” названа фіктивною магнітною масою, а рознесені на нескінчену відстань полюсу магніту при цьому формально являють відокремлені магнітні заряди протилежних знаків, а значення будь-якого з них входить у співвідношення (2.1).

Напруженість магнітостатичного поля залежить від параметра середовища . Для усунення цієї залежності введемо нову характеристику магнітостатичного поля – вектор магнітної індукції:

. (2.2)

Визначення характеристик магнітостатичного поля за заданим значенням і розподілу в просторі постійного струму визначає сутність прямої задачі магнітостатики. В основі розв'язування цієї задачі лежить закон Біо–Савара, відкритий експериментальним шляхом.

Розглянемо нескінченно тонкий провідник довжиною з постійним струмом (рис.2.2). Виділимо елемент довжини про­відника , при цьому добуток розглядається як вектор і називається елементом струму. Він збуджує в точці нагляду елементарне магнітостатичне поле напруженості , яке визначається за законом Біо–Савара векторним добутком:

, (2.3)

де – одиничний век-тор, який характери­зує напрямок на точку ; – відстань від елементу струму до точки нагляду .

Закон Біо–Савара свідчить про те, що напруженість магнітостатичного поля, яке збуджується елементом постійного струму, прямо пропорційна величині цього елементу, обернено пропорційна квадрату відстані до точки нагляду і залежить від напряму до неї. При цьому добуток є векторним і спільно з визначає модуль і напрям елементу . Для переходу від до необхідно співвідношення (2.3) інтегрувати по довжині провідника . Розкриваючи в співвідношенні (2.3) векторний добуток і враховуючи те, що модуль дорівнює одиниці, одержимо:

,

звідки напруженість магнітного поля:

. (2.4)

 

Розглянемо приклад практичного застосування закону Біо–Савара для визначення напруженості постійного магнітного поля, яке створюється прямолінійним нескінченно довгим і нескінченно тонким провідником з електричним струмом . Позначимо: - найкоротша відстань від точки нагляду до провідника довжиною (рис.2.3), – відстань від точки A до елемента струму , – кут, який характеризує напрямок на точку , – кут між нормаллю до провідника і напрямом на точку , – проекція на нормаль до . Тоді відповідно до співвідношення (2.4) модуль вектора напруженості

 

,

Враховуючи введені позначення, . Внаслідок нескінченної малості відстані від кінця і початку вектора до точки однакові і рівні . При цьому .

Отже, переходячи від інтегрування по довжині до інтегрування по куту , одержимо:

 

. (2.5)

 

Виражаючи відстань до точки через величину :

 

 

і підставляючи її в вираз (2.5), одержимо:

 

. (2.6)

 

Співвідношення (2.6) свідчить про те, що лінія вектора прямолінійного провідника зі струмом має вигляд кола радіусу .

Застосування закону Біо–Савара для аналізу поля провідника кінцевої товщини або усередині його супроводжується складнощами інтегрування по об'єму, оскільки цей закон справедливий лише для нескінченно тонких провідників. Тому є необхідність в розробці на основі закону Біо–Савара способу розрахунку магнітного поля “товстого” провідника з постійним струмом. Такий спосіб засновується на законі повного струму, який розглянемо нижче. Інтегральну форму цього закону застосовують для розв'язку прямої задачі магнітостатики.