Теорема Гауса–Остроградського

 

Для об’єднання інтегральної (1.4.) та диференційної (1.8) форм рівності Гауса–Остроградського використаємо зв’язок сумарного заряду в деякому об’ємі з об’ємною густиною зарядів. Якщо густина зарядів – це відношення заряду до одиниці об’єму

,

то сумарний заряд знаходиться інтегруванням за об’ємом :

.

Тоді рівність (1.4) можна переписати у вигляді:

,

але відповідно з виразом (1.8) . При цьому

(1.11)

Одержане співвідношення (1.11), яке є аналогом (1.4), відоме під назвою теореми Гауса–Остроградського. Співвідношення зв’язує поверхневий інтеграл з об’ємним, дозволяючи оперативно міняти порядок інтегрування. Це суттєво спрощує рішення ряду задач, коли замість обчислення складних інтегралів можна змінити порядок одного з них, а потім прирівняти підінтегральні функції інтегралів, що зв’язані знаком рівності.

 

 

1.6. Робота сил та потенціал електричного поля

 

Нехай в електростатичному полі точкового заряду по деякій траєкторії переміщується пробний заряд (рис. 1.4). Розглянемо, яка робота виконується полем при переміщенні цього заряду.

Сила, яка діє на заряд з боку заряду , за законом Кулона:

.

 

Робота сили на ділянці шляху :

 

Повна робота сил поля при переміщенні заряду з точки в точку визначається інтегру-ванням на ділянці :

. (1.12)

 

З одержаного співвід-ношення випливає, що робота сил електричного поля не залежить від форми шляху, а визначається найкоротшою відстанню між початковою і кінцевою точками. Цей висновок зроблений для поля точкового заряду електростатичного поля.

Розглянемо роботу сил електростатичного поля по переміщенню пробного заряду по замкненій траєкторії (рис. 1.5). За визначенням, силою, яка здійснює роботу, є вектор . В даному випадку робота розраховується інтегруванням по замкненому контуру :

.

Такий інтеграл називається циркуляцією вектора . З рис. 1.5 видно, що

.

На ділянці поле витрачає енергію по переміщенню заряду , а на ділянці – навпаки, заряд віддає енергію полю. Оскільки робота на ділянці шляху не залежить від форми траєкторії, то можна стверджувати, що

 

,

оскільки відстань між початковою та кінцевою точками в обох випадках одна і та ж сама. Таким чином, робота сил по замкненому контуру, або циркуляція вектору визначається співвідношенням:

 

. (1.13)

Цей результат очевидний тому, що він випливає із закону збереження енергії.

Оскільки робота по переміщенню заряду є лише функцією відстані між початковою та кінцевою точками, то стає можливим введення скалярного параметру поля – його потенціалу. Різність потенціалів між двома точками дорівнює взятій з протилежним знаком роботі сил електростатичного поля при перенесенні одиниці кількості електрики з однієї точки в іншу:

. (1.14)

Уявимо тепер, що точка знаходиться на нескінченно великій відстані, тому потенціал в ній дорівнює нулю. Тоді потенціал поля в точці є роботою сил поля по переміщенню пробного заряду з нескінченності в дану точку:

, (1.15)

де – постійна інтегрування, яка враховує початкові умови.

За одиницю потенціалу (в системі одиниць СІ) прийнятий один Вольт. Для поля сукупності зарядів потенціал відповідно з принципом суперпозиції дорівнює сумі окремих потенціалів:

.

Таким чином, електростатичне поле визначається як векторами та , так і скалярною величиною (1.15), яка є бесперервною функцією координат.