Закон повного струму в диференційній формі

 

 

Розглянемо область простору, в якій присутнє магнітостатичне поле . Необхідно визначити значення струму в певній точці. Для цього замкнений контур , в якому знаходиться точка, зменшуємо, “стягуючи” його до неї. Площа контуру при цьому буде прямувати до нуля. Якщо виявиться, що в цьому випадку циркуляція не дорівнює нулю, то це означає, що в точці, яка нас цікавить, є електричній струм, а якщо циркуляція дорівнює нулю, то струму в цій точці немає.

Розбиваємо площину , обмежену контуром , на нескінченно малі площадки площиною , обмежені контурами (рис.2.6).

Усередині контуру може виявитись струм . Тоді відповідно до виразу (2.9):

 

.

 

Інтеграл в лівій частині як математичний оператор має назву циркуляції, а права частина виражає частку сумарного струму, що підлягає дослідженню.

 

 

Віднесемо обидві частини цієї рівності до величини і перейдемо до границі при умові, що :

 

. (2.10)

Ліва частина виразу (2.10) є циркуляцією на одиниці поверхні і проекцією ротора вектора на нормаль до елемен-тарної площадки , а права частина – проекцією вектора густини струму провідності на ту ж нормаль. Тому . Оскільки вектор може бути сполучений з будь–якою координатною віссю, то в загальному вигляді:

або:

. (2.11)

Розглянемо докладніше диференційний оператор . Нехай вектор є довільно орієнтованим відносно координатних площин, але перетинає площину XOY, як показано на рис. 2.7. Навколо струму виникає магнітостатичне поле, проекція силових ліній якого на площину XOY зображена пунктиром.

Суцільною лінією зображено проекцію контуру на площину XOY. Ця проекція обмежує елементарну площину _n. Згідно зі співвідношеннями (2.10) і (2.11) вектори і співпадають за напрямком.

На рис. 2.7 через n позначено нормаль до координатної площини XOY. На неї відмічені проекції і , які зв'язані співвідношенням (2.11).

Ротор , як вектор, може бути виражений сумою своїх проекцій на координатні вісі:

 

.

 

Таким чином ротор вектору – це вектор, проекція якого на нормаль до довільної площини дорівнює границі відношення циркуляції по замкненому контуру до площі, обмеженій цим контуром, при її прямуванні до нуля.

На основі викладеного вище, застосовуючи математичну форму запису оператора “ротор” в прямокутній системі координат, одержимо співвідношення:

 

, (2.12)

 

яке відображає закон повного струму в диференційній формі: ротор

вектора напруженості магнітостатичного поля визначається густиною електричного струму, що створює це поле. В цьому співвідношенні перший доданок є проекцією , другий проєкцією – , а третій – проєкцією . Таким чином, обернена задача магнітостатики розв’язується шляхом диференціювання по осям координат проекцій відомого вектора напруженості і наступним обчисленням за формулою (2.12) густини струму, що його утворив.

 

Теорема Стокса

Між інтегральною і диференціальною формами закону повного струму існує взаємозв'язок, установлений теоремою Стокса.

Теорема Стокса зв'язує інтеграли різного порядку, подібно до теореми Гауса–Остроградського в електростатиці. Вона дозволяє оперативно переходити від лінійного інтеграла до поверхневого, і навпаки, що в ряді випадків, наприклад, при розв'язуванні прямої задачі магнітостатики, суттєво полегшує розрахунки.

Інтегральна (2.19) і диференціальна (2.12) форми запису закону повного струму такі:

 

; .

Значення сумарного струму обчислюється його густиною через інтеграл по поверхні:

.

Підставляючи цей вираз в інтегральну форму закону повного струму, одержуємо:

.

В правій частини цієї рівності виразимо через відповідно до закону повного струму в диференціальній формі і одержимо математичний запис теореми Стокса в такому вигляді:

 

,

тобто циркуляція вектора по довільному замкненому контуру дорівнює потоку його ротора через поверхню, обмежену цим контуром. В лівій частині маємо інтеграл першого порядку, а в правій – другого, що дає можливість переходу між ними.

 

 

Оператор Гамільтона

 

При розв'язуванні прямої задачі магнітостатики в загальному вигляді кінцевий результат повинен бути представлений у формі функціональної залежності вектора від густини струму . Для досягнення цієї мети одного співвідношення (2.12) недостатньо, оскільки в ньому містяться три невідомих і підлягаючих визначенню проекції вектора . Розв'язування цієї задачі стане можливим при використанні невідомої поки проміжної функції, яка зв'язує між собою і . Для обгрунтованого введення цієї функції слід формалізувати операції обчислення градієнта, дивергенції і ротора. Ці операції являють собою диференціювання по просторовим координатам. Символом такого диференціювання є оператор Гамільтона, який позначається грецькою буквою (набла). Оператор Гамільтона розглядається як формальний вектор

до якого застосовуються всі правила дії з векторами. Кожна проекція вектора символізує операцію диференціювання по відповідній просторовій змінній, тому має вигляд:

.

Розглянемо приклади використання вектора для обчислення деяких операцій.

1. Множення вектора на скалярну функцію :

. (2.13)

Якщо скалярній функції надати зміст потенціалу, то, порівнюючи співвідношення (2.13) та (1.17), приходимо до висновку про те, що

,

тобто при здійсненні проміжних перетворень операція диференціювання скалярної функції за координатами може бути замінена еквівалентною алгебраїчною операцією .

 

2. Скалярний добуток векторів і .

На основі правила скалярного множення векторів запишемо:

. (2.14)

Порівнюючи співвідношення (2.14) та (1.9) встановимо, що скалярний добуток еквівалентний операції дивергенції над вектором або будь–яким іншим фізичним вектором, тобто

. (2.15)

Розглянемо скалярний добуток двох векторів :

.

Оператор має зміст операції диференціювання другого порядку і називається оператором Лапласа. Добуток вигляду:

співпадає за змістом з операцією типу

.

Тому рівняння Пуассона–Лапласа, наприклад, може бути представлено у вигляді:

.

3. Векторний добуток векторів .

Використовуючи правила векторного добутку двох векторів, одержуємо таке співвідношення:

 

. (2.16)

 

Це означає, що обчислення ротора будь–якого вектора може бути замінено формально алгебраїчною операцією загального вигляду .

4. Обчислення операцій вигляду .

Записуємо дану функцію через –оператор, починаючи з внутрішньої її частини. На основі виразів (2.15) і (2.16):

.

За визначенням результатом добутку є третій вектор, наприклад, , перпендикулярний площині розташування векторів і . Тому вектори і перпендикулярні. При цьому скалярний добуток:

,

тоді

.

Звідси випливає важливий наслідок: якщо дивергенція будь–якого вектора, наприклад, , дорівнює нулю, то існує такий вектор, наприклад, , ротор якого дорівнює початковому вектору . Таким чином, якщо

,

то

. (2.17)

5. Обчислення функцій вигляду .

Запишемо дану функцію через – оператор:

. (2.18)

За визначенням, градієнт будь–якої скалярної функції є вектором, наприклад, . Із співвідношення (2.18) випливає ще один важливий наслідок: якщо ротор будь–якого вектора, наприклад, дорівнює нулю, то існує скалярна функція , градієнт якої дорівнює початковому вектору. Таким чином, якщо

,

то

. (2.19)

Якщо при цьому , де – потенціал електростатичного поля, то вираз (2.19) перетвориться в відоме співвідношення (1.17):

.

6. Обчислення функцій вигляду .

Запишемо цю функцію через оператор . Починаючи з внутрішньої її частини і застосовуючи правила алгебри, послідовно одержуємо:

. (2.20)

Всі співвідношення, що отримано, будуть використані у по-дальшому для спрощення математичних дії та при з’ясовуванні фізичного змісту складних явищ.