Граничні умови для тангенційних складових

вектора

 

Нехай вектор напруженості магнітного поля перетинає границю поділу двох середовищ. Елемент вектора зобразимо поки формально у вигляді прямої (рис.2.8). Знайдемо циркуляцію вектора по контуру . Від форми контуру циркуляція не залежить, тому вибираємо прямокутний контур, сторони якого нескінченно малі. Напрям обходу контура здійснюємо за годинниковою стрілкою. Циркуляція при цьому є сумарною роботою сил поля по кожній сторін контуру. Згідно з законом повного струму в інтегральній формі вираз (2.9) можна записати:

.

 

Тут сума другого і четвертого доданків дорівнює нулю, але незалежно від цього розміри сторін і спрямовуємо до нуля, оскільки необхідно дослідити явища на границі розподілу.

 

Розміри сторін і (рис. 2.8) зменшуємо до нескінченно малих значень так, щоб на них можна було вважати H = const. Тоді:

, ,

де і – значення в першому і другому середовищах відповідно. При цьому:

 

.

Тут елементи контуру і напрямлені протилежно один до одного (рис.2.8), а . Тоді добуток – проекція вектора на границю поділу, тобто вона є тангенційною складовою вектора . Величина є проекцією вектора на границю розподілу, тобто тангенційною складовою .

На основі вище викладеного одержуємо граничні умови для тангенційних складових вектора :

,

або

, (2.26)

 

тобто тангенційні складові вектора на границі поділу двох середовищ змінюються стрибком на значення густини струму провідності уздовж границі поділу.

2.7.2. Граничні умови для нормальних складових вектора

 

Нехай вектор магнітної індукції перетинає границю поділу двох середовищ з різними значеннями і . Виділимо нескінченно малу ділянку поверхні поділу таку, щоб можна було знехтувати її кривизною. Побудуємо циліндр з поперечним перетином , твірні якого паралельні нормалі до поверхні поділу. На рис.2.9 застосовані такі позначення: і – нижня і верхня основи циліндра; – його бокова поверхня. Потік вектора через замкнену поверхню циліндра згідно з виразом (2.21):

.

 

Оскільки весь магнітний заряд умовний усередині замкненої поверхні зосереджений на площадці , то без втрати для загального результату можна спрямувати до нуля довжину твірної, і, отже, величину циліндра. Оскільки величина поверхні є нескінченно малою, то в її межах можна вважати .

 

 

 

Враховуючи протилежну напрямленість векторів і (рис.2.9), можна записати:

.

Скоротимо скалярні добутки на величину :

 

.

 

В одержаному співвідношенні перший член є нормальною складовою .Тому вираз, який описує граничні умови для нормальних складових вектора магнітної індукції , набуде вигляду:

,

тобто нормальна складова вектора при переході через границю поділу двох середовищ не змінюється.

Отже, для вектора можна записати:

 

,

або

, (2.27)

тобто нормальні складові вектора по обидві сторони границі поділу відрізняються в разів.

У загальному випадку нормальні і тангенційні складові вектора на границі поділу двох середовищ змінюються стрибком. Це призводить до заломлення силових ліній магнітного поля на границі поділу.