Характеристики електричного поля

Напруженість електричного поля – це сила дії поля на пробний точковий електричний заряд. Позитивним напрямком дії сили прийнято вважати напрямок від позитивного заряду – джерела поля –

до точки розташування пробного електричного заряду або в напрямку від більшого заряду до меншого.

Визначимо напруженість електростатичного поля , створеного точковим зарядом , що знаходиться у точці з координатами , в точці спостереження­ з координатами , в якій знаходиться електричний заряд . Відповідно до закону Кулона, на заряд з боку заряду діє сила, яка дорівнює:

де значення відстані r:

,

а – одиничний вектор. Тоді напруженість поля визначимо як силу, що діє на пробний заряд:

[В/ м], (1.1)

де є - радіус-вектор.

Отже, напруженість поля точкового заряду прямо пропорційна його значенню, обернено пропорційна квадрату відстані до точки спостереження та залежить від напрямку на неї. Вектор напрямлений у бік зменшення заряду. У співвідношенні (1.1) параметр свідчить про залежність від властивостей середовища. Це призводить до того, що на границі поділу двох середовищ напруженість поля стає розривною функцією відстані. Для усунення цього ефекту при математичному аналізі доцільно перейти до іншої характеристики поля:

.

Ця нова характеристика, що не залежить від , називається вектором електричної індукції . З урахуванням співвідношення (1.1):

.

Отже, вектор залежить тільки від величини заряду і відстані до точки спостереження. Очевидно, що в однорідному ізотропному середовищі вектори та завжди будуть співпадати за напрямком.

Розглянемо поле точкового заряду та визначимо кількість силових ліній, які перетинають деяку сферичну поверхню радіусу з центром у точці розташування заряду. В будь-якій точці такої сфери вектори та перпендикулярні елементу її поверхні. Оскільки кількість ліній векторів або , що перетинають елемент поверхні сфери, відповідає чисельному значенню або , то загальне число ліній через усю сферичну поверхню, тобто потік вектора , визначають так:

.

Аналогічно визначають потік вектора :

.

Отже, кількість силових ліній або не залежить від радіуса сфери, і ці лінії мають властивість безперервності. Позитивними вважають такі лінії, які беруть початок з об’єму, а негативними – які входять в об’єм, що обмежен поверхнею. При цьому кількість ліній , що перетинають довільну замкнену поверхню, дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, які знаходяться усередині об’єму, обмеженого цією поверхнею. При переході з одного середовища в інше вектори змінюються стрибком, а вектори залишаються незмінними.

На основі одержаних співвідношень для та можна зробити формальний висновок про те, що при значенні напруженість поля E = ¥. Але це суперечить фізичному змісту, тому що ніяка фізична величина не може приймати нескінченних значень. Справа в тому, що поняття “точковий заряд”, тобто заряджене тіло з “нульовими” розмірами, є умовним. Реальне фізичне тіло завжди має кінцеві розміри, які потрібно враховувати при малих відстанях до точки спостереження. Тому в наступному параграфі розглянемо співвідношення для напруженості електричного поля зарядів, розташованих у середині замкненої поверхні.

 

1.3. Рівність Гауса – Остроградськогов інтегральній формі

 

Нехай вектор перетинає нескінченно малу площину (рис.1.1). Як елемент поверхні вона є пласкою та характе-ризується визначеною орієн-тацією в просторі. Це означає, що елементарну площадку необхідно задати як значенням її площі, так і положенням в просторі, тобто визначити як векторну величину. Вектор , що спрямований перпендикулярно поверхні та чисельно рівний її площі, називається вектором-площадкою. Напрям вектора–площадки прийнято зв’язувати з напрямом її обходу та визначати відповідно з правилом правого гвинта. Кількість силових ліній , які перетинають деяку поверхню, називається потоком N вектора та чисельно визначається скалярним добутком векторів і . Відповідне співвідношення має вид:

 

.

 

Розглянемо замкнену поверхню довільної форми (рис.1.2.), яка оточує точковий заряд . Потік вектора через дорівнює:

. (1.2)

 

Тут – елементарний ті-лесний кут, під яким площадку видно з точки розташування заряду .

Потік вектора через усю замкнену поверхню можна визначити інтегру-ванням (рис.1.2.):

, (1.3)

Нехай тепер в об’ємі , обмеженому замкненою поверхнею , є безліч зарядів . Згідно з принципом суперпозиції для лінійних середовищ результуюче значення вектора:

,

де – вектори індукції, які створені зарядами в точці спостереження. Тому потік результуючого вектора індукції крізь замкнену поверхню :

.

Тут кожний додаток у відповідності з виразом (1.3) дорівнює , де Тоді:

,

тобто потік вектора крізь замкнену поверхню :

 

. (1.4)

Співвідношення (1.4) є рівністю Гауса–Остроградського в інтегральній формі. Воно свідчить про те, що потік вектора електричної індукції через замкнену поверхню довільної форми дорівнює алгебраїчній сумі зарядів , які знаходяться в об’ємі, обмеженому цією поверхнею. Ця рівність дозволяє визначити характеристики поля та за відомими алгебраїчними сумами електричних зарядів, тобто розв‘язувати прямі задачі електростатики.

Тепер може виникнути запитання: якщо співвідношення (1.4) дозволяє визначати характеристики поля за відомою кількістю зарядів, то чи не можна скористатися цим же співвідношенням – рівністю Гауса–Остроградського в інтегральній формі - для розв’язування оберненої задачі, тобто знаходження розподілу заряду за відомими характеристиками поля та ? Але при уважному розгляданні формули (1.4) відповідь на це запитання цілком очевидна: за допомогою цієї рівності не можна знайти заряд в конкретній точці об’єму, більш того, неможливо навіть відповісти на запитання: чи є взагалі заряди усередині даного об’єму, оскільки алгебраїчна сума зарядів може дорівнювати нулю при однаковій кількості зарядів протилежних знаків.