Рівність Гауса–Остроградського в диференційній формi

 

Нехай в прямокутній системі координат існує обмежений об’єм (рис.1.3). Необхідно визначити розподіл в ньому електричних зарядів. Для цього можна було б застосувати рівність (1.4) до нескінченно малого об’єму . Однак тоді отримаємо, що потік вектору через нескінченно малу поверхню є нескінченно малою величиною третього порядку малості. Тому для розв’язування оберненої задачі доцільно розглядати не власно потік, а його відношення до малого об’єму.

Визначимо наявність електричного заряду в деякій точці (рис.1.3) усередині об’єму , обмеженого поверхнею . Потік вектора через замкнену поверхню :

 

(1.5)

 

Алгебраїчна сума зарядів у се-редині об’єму :

Рис. 1.3

,

де – об’ємна гус-тина зарядів. Для визначення густини заряду в точці a за ві-

Рис. 1.3. домою величиною потоку N

треба зменшувати об’єм ,

стягуючи поверхню в точку , та розділити обидві частини виразу (1.5) на об’єм, переходячи до границі:

 

. (1.6)

 

В (1.6) права частина – об’ємна густина зарядів , а ліва – границя відношення потоку через замкнену поверхню до об’єму , що обмежений цією поверхнею, при умові, що об’єм прямує до нуля. Ця границя називається дивергенцією вектора . Тобто:

. (1.7)

Згідно з рівнянням (1.6):

. (1.8)

 

Співвідношення (1.8) називається рівністю Гауса–Остроградського в диференційній формі.

Визначимо дивергенцію вектора в прямокутній системі координат (рис.1.3). Нехай точка знаходиться усередині нескінченно малого паралелепіпеда. Розрахуємо потік через його поверхню. Інтеграл від вектора по поверхні паралелепіпеда зведеться до суми потоків через всі шість його граней. Потік через грань 1:

,

де – проекція вектору на вісь в точці, яка визначає положення грані 1.

Аналогічно потік вектора через грань 2:

,

де знак мінус показує протилежний напрям зовнішніх нормалей до граней 1 та 2. Загальний потік крізь грані 1 і 2:

,

де різниця є прирістом при зміні на величину і вона дорівнює:

.

Тоді:

.

Аналогічним чином визначаються потоки вектора через решту граней. Тоді потік вектора через всю поверхню паралелепіпеда:

.

При цьому в прямокутній системі координат дивергенція визначається співвідношенням:

. (1.9)

На основі виразів (1.8) і (1.9) одержимо:

. (1.10)

Співвідношення (1.8) та (1.10) дозволяють розв’язувати обернену задачу електростатики – знаходження заряду в конкретній точці, якщо відомі характеристики поля. Однак ці співвідношення неможливо використати для розв’язування прямих задач в загальному вигляді, оскільки в цьому випадку кожне з них містить три невідомих складових вектора .

Доцільно ввести нову скалярну функцію, яка з одного боку була б зв’язана з питомим зарядом , а з другого – з вектором . Така функція - потенціал електростатичного поля буде проаналізована далі.