Тема 3. 5. Моделювання споживання

В задачах моделювання випуску продукції промислового призначення споживання враховується шляхом включення в систему обмежень умови на верхню межу її виробництва.

Невиробниче споживання має на меті максимальне задоволення потреб споживача. Попит на ті чи інші продукти залежить від багатьох чинників, до найважливіших з яких належать ціна і дохід.

Як правило зв’язок між ціною і попитом є оберненим - із збільшенням ціни попит на продукт зменшується. Залежності між попитом і ціною, попитом і доходом описується за допомогою функцій попиту.

В умовах обмеженості доходу основною задачею споживання є встановлення такого рівня споживання продуктів, при якому максимально задовольняються потреби споживача. Вибір споживача щодо задоволення власної потреби описується функцією корисності окремих продуктів або їх наборів (товарів чи послуг).

Розглянемо типові функції попиту та побудуємо модель задачі споживання. Зауважимо, що функції попиту будуються для окремих видів продуктів або їх груп.

Функція попиту в загальному випадку має такий вид:

де d - дохід; р - ціна продукту.

Розглянемо окремі функції попиту від ціни та попиту від доходу .

Функція попиту є спадною функцією від ціни

за винятком товарів Гіффіна, для яких .

Еластичність попиту від ціни визначається за такою формулою:

Еластичність попиту від ціни характеризує відносну зміну попиту при зміні ціни на 1%. Вона розраховується в кожній точці кривої попиту.

Перехресна еластичність попиту від ціни характеризує зміну попиту на певний продукт при зміні цін на інші продукти:

.

Продукти в залежності від значення Ер поділяються на 3 групи:

* з еластичним попитом - при збільшені ціни виторг зменшується, Ер >1;

* з нейтральним попитом - виторг не залежить від ціни, Ер =1;

* з нееластичним попитом - підвищення ціни викликає зростання виторгу, Ер <1.

Приклад 7.

Виторг визначається за формулою U= y·p, де y - розмір попиту на продукт; U - виторг.

Дослідимо зміну виторгу, розглядаючи розмір попиту як функцію від ціни:

. (43)

На підставі (36) можна зробити такі висновки:

1. U' >0, якщо Ер<1;

2. U' >0, якщо Ер>1;

3.U' =0, якщо Ер=1.

Функція попиту від доходу має такий вид:

y=f(d)

де d - дохід, y - попит на продукт.

Функція попиту від доходу є зростаючою, тобто y' >0.

Емпіричні закономірності попиту від доходу були досліджені Енгелем. Їх можна виразити так:

* при збільшенні доходу зменшується відносна частка витрат на харчування, а частка витрат на предмети розкоші зростає,

* при збільшенні доходу частка витрат на одяг та житло лишається стабільною.

На рис.8 зображені емпіричні залежності попиту від доходу (криві Енгеля).

Рис.8. Криві Енгеля

 

Аналогічні дослідження були проведені Л.Торнквістом (Швеція), який виділив три групи товарів:

* першої необхідності,

* другої необхідності,

* предмети розкоші,

і побудував аналітичні залежності для кожної групи товарів.

Залежності мають такий аналітичний вираз:

(44)

(45)

(46)

де a_i, b_i= Const; d - рівень доходу.

Графічне зображення кривих Торнквіста наведено на рис.9.

 

Рис.9. Криві Торнквіста

 

Важливою характеристикою функції попиту є еластичність попиту від доходу, яка характеризує відносну зміну попиту при зміні доходу на 1% і визначається за такою формулою:

. (47)

Якщо , то товар називають цінним. Цінні товари діляться на 3 групи:

Якщо , то товар називається малоцінним (мука, картопля).

Приклад 8.

Функція попиту від ціни має такий вид:

.

Дослідимо характер зміни попиту від ціни:

1. - функція попиту є спадною. Із збільшенням ціни попит зменшується (рис.10).

2. . Значення коефіцієнта еластичності Е_р на проміжку визначення функції є більшим від одиниці, а значить попит є еластичним (із збільшенням ціни виторг зменшується).

 

 

Рис.10 Функція попиту від ціни

Приклад 9.

За даними прикладу 9 знайти виторг від реалізації та оцінити характер його зміни. Позначимо виторг через U і визначимо U'. Маємо:

Таким чином виторг є спадною функцією, а значить попит - еластичний. З іншого боку за формулою (36) отримаємо:

.

Отже, при коефіцієнт еластичності Е_р >1, а значить попит є еластичним.

Приклад 10.

Попит на продукт описується такою залежністю:

.

Дослідимо характер зміни попиту від ціни.

Коефіцієнт еластичності має вид:

.

Знайдемо, при яких значеннях ціни Е_р >1:

.

Таким чином у всій області визначення Е_р >1, а значить попит є еластичним.

Приклад 11.

Пропозиція товару описується такою функцією:

.

Попит на товар описується такою функцією:

.

Знайти точку рівноваги, еластичність попиту і пропозиції для ціни рівноваги.

1. Знайдемо точку рівноваги з умови z=y:

- ціна рівноваги.

- попит нееластичний.

Приклад 12.

Залежність попиту від доходу описується такою функцією:

.

Необхідно встановити до якої групи належить цей товар, а також визначити тип товару при d =25.

1.

Товар належить до групи цінних, бо , тобто із збільшенням доходу попит зростає.

 

2.

 

Цінний товар з низькою еластичністю (Е_р <1).

3. Якщо перетворити функцію попиту до виду

,

то можна зробити висновок, що за Торнквістом цей товар належить до предметів необов’язкового вжитку. Графік цієї функції наведений на рис.11.

 

Рис.11 Графік функції .

 

Розглянувши функції попиту перейдемо до побудови моделі споживання.

Позначимо через U=U(y₁,y₂) через функцію корисності від споживання двох товарів y₁,y₂.

Якщо U=Const, то отримана крива має назву кривої байдужості.

До основних типів функцій корисності належать такі:

 

* з повною взаємною замінністю благ

, (48)

* неокласична (степенева)

, (49)

* неокласична (логарифмічна)

. (50)

Крім наведених використовуються також функції корисності з повним доповненням благ, функції змішаного типу.

Поведінка споживача описується функцією корисності, але залежить від бюджетного обмеження

, (51)

де р₁, р₂ - ціни продуктів (товарів, послуг);

P - дохід споживача.

Вважаємо, що в межах бюджету кожен споживач прагне розподілити свій дохід таким чином, щоб функція корисності набула максимального значення.

В такому разі найпростіша модель споживання має вид:

, (52)

, (53)

, (54)

Оптимальний план споживання міститься в точці дотику бюджетної лінії до кривої байдужості (рис.12).

 

Рис.12 Графічна інтерпретація моделі споживання

 

Обмеження (53)-(54) можна доповнити умовами на рівень споживання благ (рис.13):

 

Рис.13 Графічна інтерпретація моделі споживання з обмеженнями на рівень споживання продуктів

 

Якщо функція корисності має вид

, (55)

то маємо лінійну задачу оптимального планування споживання.

Якщо

, (56)

то отримуємо нелінійну задачу, розв’язок якої можна знайти за методами, які описані в темі 4.

Розглянемо нелінійну задачу споживання:

, (57)

, (58)

. (59)

За методом повного диференціалу в точці дотику кривої байдужості до бюджетної лінії виконується така умова: du=dp =0.

Знайдемо

, (60)

, (61)

. (62)

 

Підставляючи (55) в (51) отримаємо:

 

 

 

(63)

 

 

Графічна інтерпретація

Приклад 13.

Побудова кривої байдужості:

1.

2.

 

Рис. 14 Криві байдужості

 

Приклад 14.

Навести графічну інтерпретацію задачі:

,

, бюджетне обмеження,

, структура споживання,

, умови невід’ємності змінних величин.

 

Перетворимо обмеження на структуру споживання до лінійного виду з урахуванням :

.

Знайдемо оптимальний розв’язок лінійної задачі споживання графічним способом (рис.15).

 

Рис.15 Графічне розв’язування задачі

 

Приклад 15.

Знайти оптимальний план споживання для задачі:

Скористаємося методом повного диференціалу:

Тепер

Оптимальним буде такий план споживання: