Тема 3. 8. Модель загальної рівноваги Л. Вальраса

 

Засновник аналізу економічної рівноваги Л.Вальрас визначив ринок як велетенськицй аукціон, на якому постійно відбувається «намацування» цін, які урівноважують попит і пропозицію.

Конкуренція через механізм ціноутворення розподіляє ресурси у відповідності до відносної потреби в них. Коливання цін в умовах конкуренції дає змогу встановити пріоритетні для суспільства товари, а прагнення до прибутку змушує виробляти саме ту продукцію, яка користується попитом.

В загальній теорії ринкової рівноваги стверджується, що сукупний попит в економіці по вартості завжди дорівнює сукупній пропозиції. Відкладеного попиту не існує, так само як надходження коштів ззовні.

В межах своїх грошових доходів споживачі прагнуть досягнути максимуму корисності з урахуванням цін на товари.

Виробники прагнуть максимізувати прибуток від реалізації продуктів з урахуванням витрат на фактори виробництва і цін на товари шляхом встановлення таких масштабів виробництва, при яких середні витрати є найменшими, а гранична ціна пропозиції дорівнює ціні попиту на кінцевий продукт.

Рзглянемо ринок двох продуктів, які поступають від двох виробників після перетворення фактору (ресурсу) одного виду - праці.

При ринковому регулюванні мають виконуватися такі умови рівноваги:

· попиту і пропозиції продуктів;

· попиту і пропозиції ресурсу.

Рівновага попиту і пропозиції продуктів описується таким чином:

 

(74)

 

(75)

 

де y^s - виробнича функція;

y^d - розмір попиту на продукт;

L^d - розмір попиту на ресурс;

c - технологічний коефіцієнт, c >0;

a - коефіцієнт еластичності виробництва по ресурсу праця, a Î(0;1)

s - індекс пропозиції;

d - індекс попиту.

Умова рівноваги попиту та пропозиції ресурсу має вид:

 

, (76)

 

де L^s - пропозиція ресурсу праця.

В якості функції мети можуть розглядатися:

· для споживачів - «max корисності»

 

, (77)

 

· для виробників - «max прибутку»

 

, (78)

 

де b - коефіцієнт корисності продуктів;

p - ціна продукту;

w - ціна ресурсу.

Точка рівноваги попиту і пропозиції продуктів знаходиться як оптимальний розв’язок задачі (74) - (78). Ця модель належить до класу нелінійних, динамічних. Її розв’язок знаходиться ітераційно шляхом «намацування» точки рівноваги. При цьому ціни на продукти і ресурс вважаються змінними величинами.

Розглянемо статичний варіант задачі (74) - (78). Будемо вважати, шо p, w є сталими величинами. В такому разі модель задачі набере вигляду:

 

Модель V1

 

, (79)

, (80)

, (81)

, (82)

, (83)

, (84)

 

або після підстановки (81), (82) в (79) і (80) вона трансформується до виду:

Модель V2

 

, (85)

, (86)

, (87)

. (88)

 

Оптимальний розв’язок задачі (85), (87), (88) можна знайти за умовою рівності нулю повного диференціалу функції корисності і ресурсного обмеження в точці їх дотику:

 

, (89)

 

тобто

 

 

 

Прирівнявши (92) і (93) отримаємо

 

(94)

 

З урахуванням (87) знайдемо оптимальний розв’язок задачі (85), (87), (88):

 

(95)

 

(96)

 

Зауважимо, що з урахуванням обмеження (87) задачу (85), (87), (88) можна зобразити як задачу безумовної оптимізації

 

, (97)

 

оптимальний розв’язок якої випливає з необхідної умови існування екстремуму функції корисності

 

. (98)

 

Аналогічні підходи можна використати для знаходження оптимального розв’язку задачі (86), (87), (88).

Компромісний розв’язок може розглядатися як розв’язок, в якому досягається рівновага між попитом і пропозицією продуктів, тобто як ефективний розв’язок моделі загальної рівноваги (85) - (88).

 

Приклад 1.

 

Поведінка споживача описується такою моделлю:

 

 

Знайдемо оптимальний план споживання за методом повного диференціалу. Для цього скористаємося формулами (95), (98):

 

;

.

 

Знайдемо оптимальний план споживання як розв’язок задачі безумовної оптимізації:

 

 

 

Тепер

 

Приклад 2.

 

Поведінка споживачів і виробників описується такою моделлю:

 

 

Знайдемо оптимальний план споживання:

 

 

 

Знайдемо оптимальний план виробництва:

 

 

Оптимальний план споживання має такі характеристики:

 

 

Оптимальний план виробництва має такі характеристики: