Тема 3. 4. Моделювання виробництва

Технологічно ефективну виробничу діяльність можна описати за допомогою функції КД.

Витрати на випуск продукту знаходяться за такими формулами:

, (19)

, (20)

де С ₀ - сталі витрати, які не залежать від масштабу виробництва;

С ₁ - прямі витрати на випуск продукту;

С ₂ - повні витрати на випуск продукту;

q ₁, q ₂ - ціни ресурсів;

х ₁, х ₂ - рівень витрат ресурсів.

При фіксованому значенні витрат на випуск продукту (С ₁= const, С ₂= const) графік функції витрат називається ізокостою.

Якщо зафіксувати рівень випуску продукту, тобто вважати, що виконується умова у = const, то найпростіша модель планування виробництва набере такого вигляду:

Модель Д1

, (21)

, (22)

. (23)

Оптимальний розв’язок задачі (21)-(23) можна знайти такими методами:

* графічно - як точку дотику ізокости з ізоквантою;

* аналітично - з умови рівності кутових коефіцієнтів ізокости та ізокванти в точці дотику (k₁=k₂);

* аналітично - з умови рівності нулеві повних диференціалів функцій витрат і випуску в точці їх дотику (dc ₁= dy =0);

* аналітично - як розв’язок задачі безумовної оптимізації (за функцією Лагранжа).

Розглянемо графічну інтерпретацію задачі (21)-(23). В площині х ₁0 х ₂ проведемо ізокванту та ізокосту . Будемо переміщувати цю ізокосту у напрямі до моменту дотику з ізоквантою. Точка дотику M і буде оптимальним розв’язком задачі (рис. 7).

 

 

Рис. 7. Знаходження оптимального плану виробництва продукту

 

 

Розглянемо аналітичні методи знаходження оптимального плану виробництва.

1. Знайдемо кутові коефіцієнти ізокванти k ₁ та ізокости k ₂. Маємо

. (24)

З (22) знаходимо

, (25)

, (26)

Прирівнявши значення k ₁= k ₂ отримаємо

. (27)

Після підстановки (27) в (25) отримаємо

. (28)

З умови рівності нулю повних диференціалів функцій випуску і витрат слідує:

(29)

, (30)

З (29)-(30) отримаємо:

,

Знаходимо

(31)

і підставляючи (31) в (22) отримаємо

.

3. Побудуємо функцію Лагранжа для задачі (21)-(23):

. (32)

Необхідні умови існування екстремуму функції (32) мають такий вид:

. (33)

Розв’язок системи рівнянь (33) і буде оптимальним планом виробництва.

Якщо вибрати в якості функції мети максимум прибутку p, то задача знаходження оптимального плану виробництва набере такого виду:

Модель Д2

, (34)

, (35)

, (36)

де р - ціна продукту.

Знаходження оптимального розв’язку задачі (34)-(36) нічим не відрізняється від знаходження розв’язку задачі (21)-(23).

Приклад 5.

Модель задачі планування виробництва має такий вид:

, (37)

, (38)

, (39)

Знайдемо оптимальний план виробництва.

1. За кутовими коефіцієнтами.

Виразимо явно х ₂ з (38)

, (40)

і знайдемо k ₁:

. (41)

Кутовий коефіцієнт для ізокости буде дорівнювати

.

З умови k ₁= k ₂ слідує . Підставляючи це значення в (40) отримаємо .

Оптимальним буде такий план виробництва:

де х ₁^* - витрати праці, х ₂^* - витрати капіталу. Випуск продукту буде здійснюватися при цьому на одиничному рівні (у =1).

2. Знайдемо повні диференціали

,

,

Тепер , . Підставляючи х ₂ в (38) отримаємо:

3. Побудуємо функцію Лагранжа для задачі (37)-(39):

.

Необхідні умови екстремуму функції Лагранжа мають вид:

.

Розділивши перші два рівняння отримаємо

Підставляючи х ₂ в третє рівняння знаходимо х ₁^*, а далі х ₂^*.

Приклад 6.

Знайти оптимальний план виробництва для задачі (34)-(36). Підставивши (28) в (27) отримаємо:

. (42)

Необхідною умовою існування екстремуму функції (42) буде:

Розділивши ці рівняння отримаємо таку умову оптимальності розв’язку:

,

тобто оптимальним буде план виробництва, при якому гранична норма заміщення ресурсів буде пропорційна цінам ресурсів (або іншими словами - відношення граничних продуктивностей ресурсів х ₁, х ₂ буде дорівнювати відношенню цін на ресурси).