Тема 3. 1. Поняття про абстрактну технологію і виробничу функцію

 

Якщо розглянути виробництво як процес перетворення ресурсів в кінцевий продукт, то технологічно ефективну виробничу діяльність можна описати за допомогою виробничої функції, яка відображає закономірний кількісний зв’язок між випуском продукту та витратами ресурсів. У виробничу функцію не входять такі економічні величини, як ціни, тарифи, норми прибутку тощо. Вона описує набір альтернативних абстрактних технологічних процесів, що дають змогу отримати певний обсяг продукту при різних комбінаціях витрат ресурсів (функція випуску), або встановити розмір витрат ресурсу в залежності від обсягу виробництва продукту (функція витрат).

Відмінність між функціями випуску і витрат полягає в тому, що перша з них дає змогу визначити можливі варіанти поєднання витрат ресурсів, які забезпечують випуск продукту на встановленому рівні, а друга - однозначно встановити потребу в ресурсі на той чи інший обсяг виробництва продукту.

Ресурси у технологічному процесі можуть бути такими, що взаємно заміняють один одного (капітал, праця), або доповнюють (устаткування, енергія).

Зауважимо, що виробничі функції описують абстрактні технології, які не утворюються із окремих конкретних технологій, тобто виробнича функція є функціональною моделлю типу "чорного ящика".

У функціональних моделях не описується внутрішня структура об’єкта дослідження, а відображається реакція об’єкта (випуск продукту) на зовнішні впливи (витрати ресурсів).

Функціональна модель задає систему співвідношень між "входами" та "виходом" виробничого процесу за допомогою виробничої функції такого виду:

,

де x - вхід системи (витрати ресурсів);

y - вихід системи (випуск продукту);

a - параметри функції.

В якості виробничої функції може вибиратися будь-яка функція, для якої характерні такі властивості:

* безперервність,

* ,

* .

Цим вимогам відповідає зокрема лінійна і степенева функція виду:

,

.

Для знаходження параметрів виробничої функції можна скористатися методом найменших квадратів попередньо здійснивши статистичне спостереження щодо відповідності між випуском продукту і втратами ресурсів.

Надалі будемо розглядати однопродуктові функції випуску (виробничі функції) з двома видами ресурсів - праця і капітал:

де y - обсяг випуску продукту;

x₁ - витрати ресурсу "праця";

x₂ - витрати ресурсу "капітал";

a₁,a₂ - параметри функції.

До основних характеристик абстрактної технології належать:

* середня продуктивність ресурсу - m;

* гранична продуктивність ресурсу - n;

* еластичність випуску продукції - d;

* гранична норма заміщення ресурсу - g;

* еластичність виробництва - e.

Середня продуктивність ресурсу характеризує середню кількість продукту, яку можна отримати з кожної одиниці ресурсу.

Середня продуктивність ресурсу розраховується за такими формулами:

- середня продуктивність праці, (1)

- середня капіталовіддача. (2)

Гранична продуктивність ресурсу характеризує граничний приріст випуску продукту при досить малому прирості витрат ресурсу, тобто вказує скільки додаткових одиниць продукту можна отримати при додаткових досить малих витратах ресурсу.

Гранична продуктивність ресурсу характеризує граничний приріст випуску продукту при досить малому прирості витрат ресурсу, тобто вказує скільки додаткових одиниць продукту можна отримати при додаткових досить малих витратах ресурсу.

Гранична продуктивність ресурсу розраховується за такими формулами:

- гранична продуктивність праці, (3)

- гранична капіталовіддача. (4)

Еластичність випуску продукції вказує на скільки відсотків зросте випуск продукту при збільшенні витрат ресурсу на один відсоток.

Коефіцієнт еластичності випуску продукції розраховується за такими формулами:

, (5)

. (6)

Гранична норма заміщення показує, на яку величину dx₂ слід збільшити витрати ресурсу x₂ для того, щоб обсяг випуску продукту залишився сталим при зменшенні витрат ресурсу x₁ на величину dx₁.

Розрахункова формула граничної норми заміщення ресурсу "праця" має вид:

. (7)

Еластичність виробництва характеризує процентну зміну випуску продукції при зміні масштабу виробництва на один відсоток при незмінній структурі витрат ресурсів.

Коефіцієнт еластичності виробництва розраховується за такою формулою:

. (8)

Приклад 1.

Розглянемо такі типи виробничих функцій:

* лінійна функція з повним взаємним заміщенням ресурсів

, (9)

* неокласична виробнича функція Кобба-Дугласа (КД)

, (10)

де a₁,a₂ - сталі додатні величини.

Розрахуємо основні характеристики абстрактної технології, яка описується лінійною виробничою функцією (9):

Розрахуємо основні характеристики абстрактної технології, яка описується неокласичною виробничою функцією Кобба-Дугласа (10):

, (11)

, (12)

, (13)

, (14)

, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Знак "мінус" в формулі (17) вказує на зворотний характер залежності.

 

ТЕМА 3.2. АНАЛІЗ НЕОКЛАСИЧНОЇ ВИРОБНИЧОЇ ФУНКЦІЇ ТИПУ КОББА-ДУГЛАСА (КД)

 

Дослідимо характер зміни основних показників абстрактної технології, яка описується функцією КД.

1. При збільшенні витрат одного з ресурсів і сталому рівні використання іншого ресурсу середня продуктивність ресурсу (середня продуктивність праці, середня капіталовіддача) зменшується.

Оскільки середня продуктивність праці дорівнює

то при x₂=const m ₁ є спадною функцією. Аналогічні міркування справедливі для середньої капіталовіддачі при x₁=const.

2. При збільшення витрат одного з ресурсів і сталому рівні використання іншого ресурсу гранична продуктивність праці, (гранична капіталовіддача) зменшується.

Оскільки гранична капіталовіддача дорівнює

то при x₁=const n ₁ є спадною функцією. Аналогічно для граничної продуктивності праці.

Ця властивість називається "законом спадної граничної продуктивності ресурсів". Вона проявляється при сталій якості ресурсів і сталому рівні науково-технічного прогресу.

3. Середня продуктивність кожного з ресурсів зростає при збільшенні витрат іншого.

Справді:

4. Гранична продуктивність кожного з ресурсів зростає при збільшенні витрат іншого.

Справді:

Отже, із збільшенням витрат одного з ресурсів покращуються умови використання іншого ресурсу, що призводить до зростання середньої і граничної продуктивності ресурсів.

5. Середня продуктивність праці зростає повільніше ніж середня капіталоозброєність.

Середня продуктивність праці виражається таким показником , а капіталоозброєність - . З урахуванням цього перетворимо функцію КД до такого вигляду:

.

Оскільки а ₂<1, то можна зробити висновок про те, що середня продуктивність праці зростає повільніше, ніж середня капіталоозброєність (при сталому рівні якісних характеристик ресурсів і науково-технічного прогресу).

6. При збільшенні витрат ресурсів у виробничому процесі гранична норма заміщення ресурсів зменшується.

Збільшення витрат ресурсу х ₁ призводить до зменшення його граничної ефективності n ₁, тобто залучення кожної додаткової одиниці ресурсу "праця" вивільнює щораз меншу кількість ресурсу х ₂ - капіталу. Цей висновок випливає із залежності (17).

При аналізі виробництва в якому вживаються ресурси, що доповнюють один одного, використовують функції виробничих витрат, тобто функції, обернені до виробничих:

,

де у - кількість випуску продукту

х - розмір витрат ресурсу на випуск продукту в кількості у.

До найбільш уживаних належать такі функції виробничих витрат:

1. Лінійна однорідна - ;

2. Лінійна неоднорідна - ;

3. Степенева - .

До основних характеристик функції витрат належать такі:

* середні витрати ресурсу - ;

* граничні витрати ресурсу - .

Лінійна однорідна функція витрат характеризує виробничі процеси із сталою ефективністю витрат (середні витрати = граничним витратам = а).

Лінійна неоднорідна функція витрат включає в себе дві складові, одна з яких пропорційно залежить від обсягу виробництва продукту, друга - є сталою величиною. Граничні витрати для лінійної неоднорідної функції витрат дорівнюють b=const, а середні витрати - є спадною нелінійною функцією, яка асимптотично наближається до лінії граничних витрат.

Якщо для нелінійної функції виробничих витрат виконується умова , то вона характеризує позитивний економічний ефект від концентрації виробництва, тобто середні та граничні витрати є спадними функціями, а значить ефективність витрат зростає.

Якщо для нелінійної функції виробничих витрат виконується умова , то вона характеризує негативний економічний ефект від розширення виробництва зменшується. Така ситуація властива підприємствам добувної промисловості.

Функції із змінної ефективністю витрат характеризують типову залежність між витратами ресурсів і випуску продукту. При збільшенні випуску продукту ефективність витрат спочатку зростає (позитивний ефект концентрації виробництва), а після досягнення певного рівня виробництва - ефективність починає зменшуватися.

Приклад 2.

Розглянемо виробничу функцію .

Основні показники виробничого процесу, який описується цією функцією, мають такий вид:

.

При збільшенні витрат праці та сталих витратах капіталу середня продуктивність праці m ₁ буде зменшуватись:

.

При збільшенні витрат праці та сталих витратах капіталу гранична продуктивність праці буде зменшуватися:

.

Якщо збільшувати витрати капіталу, то середня продуктивність праці зростатиме:

.

Середня продуктивність праці в умовах сталої якості ресурсів і сталого рівня науково-технічного прогресу зростає повільніше, ніж середня капіталоозброєність:

.

Якщо середня капіталоозброєність зросте на 10% (в 1,1 раза), то середня продуктивність праці зросте на таку величину:

,

тобто на 2,4%.

Знайдемо граничну норму заміщення ресурсу праця за формулою (17):

.

Покладемо х ₁^¢=16; х ₂^¢=1; х ₁^¢¢=64; х ₂^¢¢=1/64; і обчислимо значення граничної норми заміщення праці в цих двох точках (з урахуванням сталого випуску продукції у =8):

Як бачимо, залучення додаткових витрат праці призводить до зменшення кількості заміщення капіталу.

Приклад 3.

Дослідити функції виробничих витрат:

1. Функція х =2 у є однорідною лінійною із сталою ефективністю витрат. Середні витрати еквівалентні граничним і дорівнюють 2 од., тобто на кожну одиницю продукту витрачається дві одиниці ресурсу.

2. Функція х =2 у +3 є неоднорідною лінійною. Граничні витрати дорівнюють 2 од., середні - є спадною функцією 2+3/ у.

3. Функція х=у^1/0,5=у² є степеневою. Оскільки dx ²/ dy ²=2>0, то ефективність витрат при збільшенні випуску продукту зменшується.