Тема 3. 9. Двохсекторна модель загальної рівноваги Л. Вальраса

 

Розглянемо модель загальної рівноваги, в якій на вдміну від моделей V1, V2 враховуються два фактори: капітал і праця. Виробництво продуктів описується виробничою функцією типу функції Кобба-Дугласа. Будемо вважати, що кожний виробник спеціалізується на виробництві одного продукту. На тривалому проміжку часу при довготерміновій рівновазі загальний прибуток буде дорівнювати нулеві (постулат Л.Вальраса).

Споживачі виносять на ринок капітал і працю, прагнучи натомість отримати свою частину розподіленого доходу. Попит на продукт формується таким чином, щоби досягнути максимуму функції корисності при обмеженнях на бюджет та умови розподілу прибутку.

Виробники вибирають таке співвідношення факторів капітал / праця (K / L), при якому досягається максимум прибутку на одиницю затраченої праці з урахуванням цін на фактори виробництва і продукти.Інтенсивність використання факторів виробництва визначається таким чином, щоби отримати однакову граничну корисність на кожну одиницю витрат.

В кінцевому результаті це дає змогу встановити оптимальні обсяги виробництва, при яких мінімізуються середні витрати на виробництво і гранична ціна пропозиції продукту відповідатиме ціні попиту. Загальний попит на фактори виробництва в кожному проміжку часу повинен дорівнювати доходам, які отримані домашніми господарствами за цей же період.

В загальному випадку двохсекторна модель ринку буде мати такий вид:

 

, (99)

, (100)

, (101)

, (102)

, (103)

, (104)

, (105)

, (106)

, (107)

, (108)

, (109)

де сталими величинами є пропозиція капіталу K^s, пропозиція праці L^s, а також коефіцієнти b ₁, b ₂, c ₁, c ₂ і показники степеня a₁, a₂ (a₁Î(0;1); a₂Î(0;1)).

Змінними в часі (шуканими) величинами є ціни на продукти p ₁, p ₂, пропозиція і попит продуктів y ₁ ^s, y ₂ ^s, y ₁ ^d, y ₂ ^d, попит на капітал K ₁, K ₂, попит на працю L ₁, L ₂, а також ціни факторів капітал і праця - R,w.

Задача (99) - (109) належить до класу нелінійних, динамічних. При умові стійкості ринку розв’язок задачі за Л.Вальрасом можна знайти намацуванням (пошуками «напомацки») рівноваги між попитом і пропозицією продуктів шляхом встановлення відповідних значень змінних величин.

 

Моделювання вибору виробника

 

Чистий прибуток виробників визначається за такими формулами:

 

, (110)

, (111)

де , (112)

. (113)

 

Підставимо (112), (113) в (110), (111) і розділивши ці вирази на L ₁, L ₂ відповідно отримаємо прибуток на одиницю затраченої праці:

 

, (114)

, (115)

 

де R - плата за капітал;

w - заробітна плата.

Позначимо

 

(116)

 

і перетворимо (114), (115) до такого виду:

 

 

, (117)

. (118)

 

За постулатом Л.Вальраса має виконуватися така умова: n ₁=0, n ₂=0. З урахуванням необхідної умови існування екстремуму функції отримаємо таку систему рівнянь:

 

, (119)

, (120)

, (121)

. (122)

 

З цієї системи отримаємо

 

 

або склавши відношення w до R

 

 

Таким чином отримаємо

 

 

Прирівнюючи рівняння (123), (124) отримаємо з урахуванням (129):

 

 

При заданих цінах продуктів p ₁, p ₂ знаходимо значення w/R з рівняння (130), а далі визначаємо значення k ₁, k ₂ з рівнянь (129).

Для встановлення попиту на працю і капітал з урахуванням (116) перетворимо (105), (106) до такого виду:

 

 

Позначимо

 

(133)

 

і підставивши (133) в (131) отримаємо

 

 

Розв’язком системи лінійних рівнянь (134), (135) буде

 

 

З урахуванням (136) і (116) отримаємо

 

 

Таким чином в результаті оптимізації вибору виробника встановлений рівноважний попит на працю і капітал, а також визначені такі співвідношення між цінами факторів виробництва, які забезпечують досягнення максимального чистого прибутку на одиницю затраченої праці.

 

Моделювання вибору споживача

 

Споживачі прагнуть досягнути максимальної корисності

 

, (138)

 

при виконанні бюджетного обмеження

 

, (139)

 

де І - дохід споживача, який дорівнює сумі винагороди за послуги факторів виробництва

 

. (140)

 

Підставимо (139) в (138) з метою зведення функції корисності до однієї функції змінної величини y ₁ ^d:

 

. (141)

 

Тепер з урахуванням необхідної умови існування екстремуму функції (141) отримаємо:

 

. (142)

 

З умови (142), (136) знайдемо

 

, (143)

 

. (144)

 

Ціни попиту p ₁, p ₂ встановлюються з урахуванням відхилень між попитом і пропозицією продуктів. «Намацування» точки рівноваги являє собою ітераційний процес.

 

Приклад 3.

 

Розглянемо статичний випадок моделі Л.Вальраса:

 

,

,

,

,

,

,

,

,

.

 

Знайдемо оптимальний план виробництва з урахуванням (130)

 

.

,

 

Знайдемо оптимальний план споживання з урахуванням (143), (144) і при умові y ₁ ^S = y ₁ ^d =2,025; y ₂ ^S = y ₂ ^d =2,004:

 

 

Якщо покласти y ₁ ^S = y ₁ ^d =2,025; y ₂ ^S = y ₂ ^d =2,004, то отримаємо:

 

 

Як бачимо оптимальний план виробників і споживачів не співпадають, умова рівноваги попиту і пропозиції не виконується.