Приклад 1. Моделі національної економіки.

 

1.1 Функціональна модель економіки Дж.Кейнса описує залежність між валовим національним продуктом У і сукупним попитом Д:

У = Д = С+І, (1.1)

де С- витрати на споживання домашніх господарств;

І - валові капіталовкладення.

з урахуванням залежності:

С = А + с'·У, (1.2)

де А - сталий рівень споживання, який не залежить від рівня доходів,

с' - гранична схильність до споживання (0< с'<1),

рівняння (1.1) набере такого вигляду:

У = А + с' У +І,

. (1.3)

1.2 Функціональна модель економіки Кобба -Дугласа описує залежність між розміром валового національного продукту У та витратами ресурсів “праця” i “капітал”:

, (1.4)

де L-витрати праці;

К - витрати капіталу;

a_L, a_K показники степеня.

1.3. Структурна модель економіки В.Леонт’єва (схема міжгалузевого балансу) встановлює залежність між розміром валового продукту та кінцевим продуктом кожної галузі і має такий вигляд:

X = (E-A)^-1 · Y, (1.5)

де X - вектор валового продукту (Х = (х₁, х₂,..., х_n));

Y - вектор кінцевого продукту (Y = y₁, y₂,..., y_n);

А - матриця прямих виробничих витрат (A = ,);

Е - одинична матриця.

Моделі (1.3), (1.4) називаються простими, або моделями з одним рівнянням. Модель типу (1.5) називається складною, або моделлю з багатьма рівняннями.

1.4. Функція пропозиції певного продукту має вид:

,

де р - ціна продукту.

1.5. Функція попиту певного продукту має вид:

,

де р - ціна продукту.

Функція корисності корисності двох продуктів має вид:

U = 0,5 ln y₁ + 2 ln y₂,

де y1 - розмір споживання першого продукту;

y2 - розмір споживання другого продукту.

Наведені функції пропозиції, попиту, корисності описують певні залежності для визначених продуктів. Вони не мають універсального характеру і безпосередньо не можуть використовуватися для опису відповідних залежностей для інших продуктів.

Приклад 2. Моделі планування виробництва продукції

 

2.1 Функціональна статична лінійна модель планування виробництва продукції у найпростішому випадку має такий вигляд:

f(x)= ® max, (1.6)

£ b_i, i Î , (1.7)

0 £ d_j £ x_j £ D_j, j Î , (1.8)

де - j-вид продукції;

i - вид ресурсу;

- прибуток від реалізованої одиниці продукції j-го виду;

- норма витрат ресурсу і-го виду на одиницю продукції j-го виду;

b_i - розмір ресурсного забезпечення;

d_j, D_j - нижня, верхня межі виробництва продукції;

- шукана кількість виробництва продукції j-го виду.

2.2 Якщо в попередній моделі (1.6) - (1.8) додатково ввести до розгляду індекс структурного підрозділу l (цеху, філіалу, дільниці), то отримаємо структурну статичну лінійну модель такого виду:

f(x)= ® max, (1.9)

£ b_il, i Î , l Î , (1.10)

0 £ d_j £ £ D_j, j Î (1.11)

2.3 Якщо в початкову модель ввести індекс t, який відображає вплив фактору часу, то отримаємо функціональну динамічну модель такого вигляду:

f(x)= ® max, (1.12)

£ b_it, i Î , t Î , (1.13)

0 £ d_jt £ x_jt £ D_jt, j Î , t Î . (1.14)

 

1.1.2.Етапи історичного розвитку економіко-математичного моделювання

 

Математичне моделювання в економічній науці розвивалася в трьох основних напрямах: математична школа в політекономії, статистичне моделювання, економетрія.

Математична школа базувалася на твердженні, що всі економічні закономірності можуть і повинні обгрунтовуватися математично. Висновки, які отримані іншим шляхом, можуть прийматися хіба в якості гіпотези. Основні досягнення математичної школи належать таким вченим, як О.Курно, Г.Госсен, Л.Вальрас, У.Джевонс, Ф.Еджворт, В.Парето.

Початок математизації економіки як науки про раціональне ведення домашнього господарства, відносять до Арістотеля.

Засновник класичної політичної економіки В.Петті (1623-1687 рр.) в передмові до “Політичної арифметики” наголошував, що замість того, щоб вживати слова для порівняння чи відзначення переваги, вживаючи при цьому абстрактні аргументи, доцільніше виражати свої думки на мові чисел, ваги і міри.

Перша модель національної економіки була створена Ф.Кене (1694-1774 рр.). В 1758р. був надрукований перший варіант “Економічної таблиці”, а в 1766 р. другий, в яких описувалася економіка Франції. В працях Ф.Кене наведена графіко-числова модель процесу суспільного відтворення, руху складових частин суспільного продукту, описані стосунки між класами (землевласниками, селянами і ремісниками) в процесі виробництва і розподілу продукції а також доходів.

Основні ідеї “Економічної таблиці” Ф.Кене такі:

* процес виробництва і обігу національного продукту є єдиним процесом суспільного відтворення;

* існує взаємна відповідність між різними формами і напрямами руху національного продукту та взаєминами (стосунками) між основними класами суспільства;

* в процесі суспільного відтворення утворюється “економіний надлишок” - дар природи;

* аналіз суспільного відтворення має здійснюватися як аналіз потоку матеріальних цінностей, а не лише нагромаджених матеріальних цінностей;

* просте відтворення має відбуватися через встановлення сталих кількісних співвідношень між основними і оборотними фондами.

Загальний висновок Ф.Кене - нормальний хід суспільного відтворення можливий при збереженні певних сталих вартісних і матеріально-ресурсних пропорцій в економіці. Економічний лад при цьому розвивається природньо, без втручання державного апарату, тобто у відповідності до законів ринкової економіки з метою досягнення “стану рівноваги”. Інтерпретація Ж.Бернара схеми товарного і грошового обороту наведена на рис. 1.1.

 

 

Земля

 

Валовий продукт

Продуктивний Продукти Землевласники

клас - селяни

Готові вироби

 

Продукти Безплідний клас - Готові

сировина ремісники вироби

 

а) схема товарного обороту

Земля

 

 

Чистий продукт

Продуктивний Оплата продукції Землевласники

клас - селяни Оплата продуктів

і сировини

 

Оплата Безплідний клас - Оплата

виробів ремісники виробів

 

б) схема грошових потоків

 

Рис.1.1. Схема товарного і грошового обороту

 

Статистичне моделювання постало з розвитком методів математичної статистики, теорії ймовірності і нагромадження емпіричних даних щодо розвитку економіки. Статистичне моделювання базується на твердженні, що дослідження економічних процесів можливе винятково на основі аналізу емпіричних даних, а економічна теорія має будуватися за результатами статистичного аналізу, бо зміст науки полягає у вимірюванні.

До основних досягнень статистичної школи моделювання можна віднести розробки щодо вирівнювання рядів динаміки, дослідження сезонних і циклічних коливань, факторного, кореляційно-регресійного аналізу.

Статистичні моделі є екстраполяційними і служать для прогнозування сталого без різких збурень, економічного процесу. Типовою статистичною моделлю може служити “Гарвардський барометр” економічної погоди, який розроблений У.Персонсом і вченими Гарвардського університету у 1917 р для економіки США.

Дія “Гарвардського барометру” базується на аналізі трьох кривих - фондового ринку, товарного ринку і грошового ринку. Ці криві мають приблизно однакові коливання, але зміщені в часі одна від одної на певний період (крива фондового ринку випереджує криву товарного ринку в середньому на 8 місяців, крива товарного ринку випереджує криву грошового ринку на чотири місяці). Таким чином прогнозування товарного ринку можна здійснити на підставі спостережень кривої фондового ринку, а прогнозування грошового ринку - за спостереженнями товарного ринку. Обмеженість дії економічних барометрів яскраво проявилася в період великої депресії економіки (1929-1932 рр.), коли “Гарвардський барометр” не відреагував на наближення кризи.

Економетрія може розглядатися як спроба побудови економіко-математичних моделей, в яких синтетично поєднані переваги формального математичного опису економічних процесів, явищ з широким використанням емпіричних даних. Розвиток економетрії пов’язується з іменами таких вчених, як В.Парето, А.Чупров, Р.Фріш, Я.Тінберген, Л.Клейн, Р.Стоун, П.Самуельсон, Д.Хікс, К.Ерроу, В.Леонтьєв, Т.Купманс, Л.Канторович, В.Глушков та ін.

Як самостійна дисципліна економетрія сформувалась на початку ХХ століття. Її становлення пов’язують з іменами Г.Мура та Г.Шульца.

У перших працях з економетрії описувалися аналітико-статистичні моделі типу лінійної регресії з параметрами, які оцінювалися за методом найменших квадратів.

Однією з перших виробничих функцій була функція Кобба-Дугласа (1928 р.).

Перші моделі економетрії описували залежності між попитом, пропозицією та податками, цінами, доходами, залежності між випуском продукції та витратами ресурсів.

До типових ЕММ, які розробляє і досліджує економетрія можна віднести:

* виробничі функції;

* функції попиту;

* функції пропозиції;

* функції корисності;

* моделі міжгалузевого балансу;

* моделі розподілу і споживання продуктів;

* моделі загальної рівноваги.

Найбільш поширеним є таке тлумачення економетрії:

Економетрія - це наука, яка вивчає кількісні закономірності та взаємозв’язки економічних об’єктів і процесів за допомогою математико-статистичних методів та моделей.

Економетрія на відміну від статистики не обмежується збором, обробкою та зображенням даних, а використовує зібрані дані для перевірки достовірності певної гіпотези.